Decomposizione al modo di Poincaré delle funzioni biiperarmoniche in due variabili. (Q2582178)

Die durch \(\varDelta\varDelta u = 0\) definierten biharmonischen Funktionen zeigen viele Analogien zu den harmonischen Funktionen; bei den Integralsätzen der Ebene spielt die Funktion \(r^2 \lg r\) eine ähnliche Rolle wie \(\lg r\) bei den harmonischen Funktionen. Hier wird nun ein Satz von Poincaré über harmonische Funktionen auf biharmonische Funktionen erweitert, der kurz folgendes besagt: Ist in der Ebene \(B_0\) ein Gebiet, und sind \(B_1,\ldots, B_p\), in \(B_0\) enthaltene, abgeschlossene paarweise fremde beschränkte Bereiche, so ist eine auf \(A = B_0 - B_1 - \cdots - B_p\) definierte biharmonische Funktion Summe von Funktionen \(u_0, u_1,\ldots, u_p\), wo \(u_0\) in \(B_0\), \(u_1,\ldots,u_p\) aber in \(CB_1,\ldots,CB_p\) biharmonisch sind, und gewisser einfach anzugebender Funktionen. Dabei werden die Integrale \[ \varPhi (u,v; C) = \dfrac{1}{8\pi}\int\limits_C \biggl(v \dfrac{\partial \varDelta u}{\partial n}u\dfrac{\partial \varDelta v}{\partial n}\biggr)ds+ \dfrac{1}{8\pi}\int\limits_C \biggl(\varDelta v\dfrac{\partial u}{\partial n}\varDelta u\dfrac{\partial v}{\partial n}\biggr)ds \] vielfach verwendet.