On the convergence of variational processes. (Q2582189)

Verf. beweist eine Reihe von Sätzen über die mögliche Güte der Annäherung, die unter gegebenen zusätzlichen Annahmen mittels Minimalfolgen an die Minimallösung eines Variationsproblems erreicht werden kann. Er beschränkt sich dabei für die Ausführung seiner Ideen auf die Behandlung des Dirichletschen Problems: \[ u = 0 \;\;\text{auf dem Rand} \;\;\varGamma \;\;\text{des Gebietes} \;D\tag{1} \] \[ \dfrac{\partial}{\partial x} \biggl(a\dfrac{\partial u}{\partial x}\biggr)+\dfrac{\partial }{\partial y} \biggl(b\dfrac{\partial u}{\partial y}\biggr)-cu=f, \quad a, b>0, \;c\geqq 0 \;\;\text{in} \;\;D,\tag{2} \] das mit dem Variationsproblem \[ I(u)=\iint\limits_D\biggl[a\cdot \biggl(\dfrac{\partial u}{\partial x}\biggr)^2+b\cdot \biggl(\dfrac{\partial u}{\partial y}\biggr)^2+cu^2-2fu\biggr]dx\,dy=\operatorname{Min} \] äquivalent ist. Als Beispiel für die Art der Resultate möge der Satz angeführt werden: \textit{Satz}: Ist \(u(x, y)\) eine Lösung der Gleichung (2), die den Randbedingungen (1) genügt, ist hierfür \(I (u) < \infty\) und längs jeder ganz im Gebiet \(D\) verlaufenden Strecke \(\alpha\leqq y\leqq \beta\) \[ \int\limits_\alpha^\beta \biggl(\dfrac{\partial u}{\partial y}\biggr)^2dy\leqq K_0, \] ist ferner \(u_n(x, y)\) eine Folge auf dem Rand \(\varGamma\) von \(D\) verschwindender Funktionen, für welche mit \[ I(u_n)-I(u)=\varepsilon _n, \qquad \int \limits_\alpha^\beta \biggl( \dfrac{\partial u_n}{\partial y}\biggr)^2dy\leqq K_n \] \[ \lim_{n\to \infty}\varepsilon _n=0, \quad \lim_{n\to\infty}\varepsilon _n\cdot \lg K_n=0 \] gilt, dann konvergiert \(u_n(x, y)\) gleichmäßig gegen \(u (x, y)\) in \(D\), und es ist \[ |u_n-u|=O\biggl(\varepsilon _n^{\tfrac12} +\biggl(\varepsilon_n\cdot \lg \dfrac{K_n+K_0}{\varepsilon_n}\biggr)^{\tfrac12}\biggr). \]