On the convergence of the method of reduction to ordinary differential equations. (Q2582190)

Verf. setzt die vorstehend besprochene Arbeit fort und beweist den folgenden Satz: \(D\) werde von den Geraden \(x = 0\), \(x = l\) und den Kurven \(y = g(x)\), \(y = h(x)\) begrenzt, worin \(g(x), h(x)\) beschränkte erste Ableitungen haben und \(h(x) > g(x)\) ist; \(u(x, y)\) sei in \(D\) definiert, verschwinde auf dem Rand \(\varGamma\) von \(D\) und die partiellen Ableitungen \(\dfrac{\partial ^2u}{\partial y^2}, \dfrac{\partial ^2u}{\partial x\partial y}\) seien samt ihren Quadraten in \(D\) integrierbar; weiter möge \(u(x, y)\) die im vorstehenden Referat angeführten Bedingungen befriedigen. Dann konvergiert die Näherungsfolge \(u_n(x, y)\) in \(D\) gleichmäßig gegen eine Lösung von (2), wenn sie eine der beiden folgenden Formen hat \[ u_n(x,y) = \sum_{k=1}^n f_k(x)\sin \dfrac{k\pi (y-g(x))}{h(x)-g(x)}, \quad u_n(x,y) =\sum_{k=1}^n f_k(x)y^{k-1}(y-g(x))(y-h(x)) \] mit \(f_k(0) =f_k(l)= 0\). Im übrigen ist die Ordnung des Fehlers beim \(n\)-ten Schritt \(O(n^{-1}\sqrt{\log n})\).