On the problem of temperature distribution in plane plates. (Q2582199)

Randwertaufgaben der Wärmeleitung für plattenförmige Körper mit verhältnismäßig geringer Dicke \(2h\) und entsprechend (im Verhältnis zu den ``Hauptflächen) kleinen Seitenflächen werden für den Fall der rechteckigen und kreisförmigen Platte nach einem Näherungsverfahren behandelt, das, wie Verf. betont, besonders auch bei Platten mit starken Krümmungsänderungen gut brauchbar sein soll und den Vorzug besitzt, durchweg mit geschlossenen Ausdrücken (ohne Quadraturen) und endlichen Näherungssummen zu operieren. Im einfachsten Falle stationärer Temperaturverteilung auf einer rechteckigen oder kreisförmigen Platte mit vorgegebener Temperaturverteilung auf der Oberfläche läßt sich das Problem und die Näherungslösung nach Einführung geeigneter dimensionsloser kartesischer bzw. Zylinderkoordinaten \(\xi, \eta, \zeta\) bzw. \(\varrho, \vartheta, \zeta\) folgendermaßen formulieren: Gesucht ist eine Funktion \(T\), die der Differentialgleichung genügt \[ T'' + \varDelta T=0, \quad T'\equiv \dfrac{dT}{d\zeta},\quad \varDelta \equiv \dfrac{\partial^2}{\partial \xi^2} +\dfrac{\partial^2}{\partial\eta^2}= \dfrac{1}{\varrho}\dfrac{\partial}{\partial \varrho}\biggl(\varrho \dfrac{\partial}{\partial\varrho}\biggr)+\dfrac{1}{\varrho^2} \dfrac{\partial^2}{\partial\vartheta^2}, \] wobei die Werte von \(T\) für \(\zeta = + 1\) und \(\zeta = - 1\) vorgeschrieben sind; auf den schmalen Seitenflächen werden zunächst keine Randbedingungen angenommen; falls solche nicht zu umgehen sind, wird eine Korrektur \(T^*\) hinzugefügt (s. u.). Die Lösung wird zunächst in Gestalt einer endlichen Summe der Form \[ T = F_0T^0+ F_1\varDelta T^0 + F_2\varDelta^2T^0+\cdots+G_0P^0+G_1\varDelta P^0+G_2\varDelta^2P^0+\cdots \] angesetzt, wobei \(F_0, F_1, \ldots, G_0, G_1, \ldots\) nur von \(\zeta\) abhängen und \(T^0=\tfrac12(T_{\zeta=1}+T_{\zeta=-1})\), \(P_0= \tfrac12(T_{\zeta=1}-T_{\zeta=-1})\) ist, wobei für \(T_{\zeta=1}\) und \(T_{\zeta=-1}\) Polynome in \(\xi,\eta\) bzw. \(\varrho, \eta\) einzusetzen sind, welche die vorgeschriebene Temperaturverteilung genügend gut approximieren; die obige Reihe für \(T\) bricht dann von selber ab. Für die Funktionen \(F_\nu(\zeta), G_\nu(\zeta), (\nu = 0, 1, 2, \ldots)\) ergeben sich die Bedingungen \[ F_0^{''} = G_0^{''} = 0,\quad F_{\nu+1}^{''} + F_\nu=G_{\nu+1}^{''} + G_\nu=0,\quad F_0=1,\quad G_0 = \zeta \] und die Werte \[ \begin{aligned} &F_\nu=2\biggl(\dfrac1\pi\biggr)^{2\nu+1}\sum_{\lambda=0}^\infty(-1)^\lambda \dfrac{1}{(\lambda+\tfrac12)^{2\nu+1}}\cos(\lambda+\tfrac12)\pi\zeta,\\ &G_\nu=2\biggl(\dfrac1\pi\biggr)^{2\nu+1}\sum_{\lambda=0}^\infty(-1)^\lambda \dfrac{1}{(\lambda+\tfrac12)^{2\nu+1}}\sin(\lambda+\tfrac12)\pi\zeta,\\ \end{aligned} \] welche ein für alle Mal tabuliert werden können. Werden im Falle der kreisförmigen Platte bei rotationssymmetrischen Aufgaben noch Randbedingungen für die Werte von \(T\) auf den Seitenflächen, d. h. für \(\varrho = \varrho_1\), gestellt, so wird der obigen Lösung \(T\) noch ein weiterer Summand \(T^*\) hinzugefügt, nämlich eine endliche Summe der Form \[ T^*=\sum_{n=1,2,3,\cdots}\biggl\{(\alpha_n\sin n\dfrac{\pi}{2}\zeta+\beta_n\cos n \dfrac{\pi}{2}\zeta)\dfrac{J_0\bigl(in\dfrac\pi2\varrho\bigr)} {J_0\bigl(in\dfrac\pi2\varrho_1\bigr)}\biggr\}, \] worin \(J_0\) die Besselsche Funktion vom Index Null und \(\alpha_n, \beta_n\) die Fourierkoeffizienten von \(T(\varrho_1,\zeta)\) bedeuten. In ähnlicher Weise werden kompliziertere Randwertaufgaben, auch solche mit Zeitabhängigkeit, behandelt, und das Verfahren wird an Beispielen erläutert.