Sul ``principio del ciclo chiuso'' del Volterra. (Q2582240)

Bei der Integralgleichung \[ f(x) = F(x)-\lambda\int\limits_{-\infty}^\infty K(x,y)F(y)dy, \tag{1} \] deren rechte Seite man auch als Funktionaltransformation \(\mathfrak B_x[F(y)]\) ansehen kann, liegt in der Volterraschen Terminologie der Fall des ``geschlossenen Zyklus'' vor, wenn \(K(x, y)\) nur von der Differenz der Variablen abhängt: \[ K(x,y) = N(x-y). \tag{2} \] Verf. zeigt zunächst leicht, daß diese Bedingung unter der Voraussetzung der Stetigkeit von \(K(x,y)\) äquivalent ist mit der Voraussetzung, daß \(\mathfrak B_x[F(y)]\) gegen Translationen invariant ist: \[ \mathfrak B_x[F(y-h)]=\mathfrak B_{x-h}[F(y)], \] physikalisch gesprochen: daß die Lage des Nullpunktes für die betreffenden physikalischen Größen \(F\) und \(f\), die in den Anwendungen meist als ``Ursache'' und ``Wirkung'' auftreten, gleichgültig ist. Weniger einfach ist der Beweis der Äquivalenz von (2) mit derjenigen der Transformation \(\mathfrak B_x[F(y)]\) zuzuschreibenden Eigenschaft, die der Name ``geschlossener Zyklus'' zum Ausdruck bringen soll, nämlich: ``Jeder periodischen Funktion \(F\) mit der Periode \(T\) entspricht eine Funktion \(f\) mit der gleichen Periode \(T\), welchen Wert auch \(T\) besitzt'', d. h. periodischen Ursachen entsprechen auch periodische Wirkungen. Dies hat schon Volterra unter ziemlich einschränkenden Voraussetzungen, aber nicht streng bewiesen. Verf. zeigt es unter der Voraussetzung, daß \(K\) stetig ist, und daß in dem Ausdruck \[ \sum\limits_{n=1}^\infty\int\limits_x^{x+T} K(x,z - nT)F(z)dz \] Summe und Integral vertauscht werden können.