On the integral equation of renewal theory. (Q2582241)

In der Bevölkerungstheorie und anderen Gebieten der Statistik tritt die Integralgleichung \[ u(t) = g(t)+ \int\limits_0^t u(t-x)f(x) dx \tag{1} \] auf, wobei es sich hauptsächlich um Existenz, asymptotisches Verhalten und praktische Berechnung der Lösung handelt unter der speziellen Voraussetzung, daß die gegebenen Funktionen \(f\) und \(g\) sowie die gesuchte \(u\) positiv sind. Die vorliegende Arbeit bezweckt, eine Reihe von Resultaten, die in der sehr weitschichtigen statistischen Literatur (etwa 100 Arbeiten) entweder unzureichend begründet sind oder die dort unzutreffend formuliert werden, auf eine exakte mathematische Basis zu stellen. Da die Integralgleichung vom Faltungstypus ist, wird das geeignete Instrument zu ihrer Behandlung durch die Laplace-Transformation geliefert. Neben (1) wird die Gleichung \[ U(t) = G(t) + \int\limits_0^t U(t - x)dF(x) \tag{2} \] betrachtet, wo \[ U(t) = \int\limits_0^t u(x)dx,\quad F(t) = \int\limits_0^t f(x)dx,\quad G(t) = \int\limits_0^t g(x)dx. \] Da diese Funktionen monoton sind, so kann an Stelle tiefer liegender Hilfsmittel, wie sie in der allgemein-mathematischen Behandlung von (1) bzw. (2) üblich sind, der S. Bernsteinsche Satz von der Identität der vollmonotonen Funktionen mit den Laplace-Stieltjes-Integralen \(\int\limits_0^\infty e^{-st}dU(t)\) mit monotonem \(U(t)\) benutzt werden. \textit{Satz 1}. \(F(t)\) und \(G(t)\) seien nichtabnehmend und nach rechts stetig, \[ F(0) = G(0) = 0. \] Die Laplace-Stieltjes-Integrale \[ \varphi(s) = \int\limits_0^\infty e^{-st}dF(t),\quad \gamma(s) = \int\limits_0^\infty e^{-st}dG(t) \] mögen mindestens für \(s > \sigma\geqq 0\) konvergieren. Dann existiert für \(t > 0\) eine und nur eine nichtabnehmende Lösung von (2). Ihr Laplace-Integral \(\omega(s) = \int\limits_0^\infty e^{-st}dU(t)\) konvergiert für \(s> \sigma'\), wo \(\sigma'\) im Falle \(\lim\limits_{s\to\sigma+0}\varphi(s) > 1\) die Wurzel der charakteristischen Gleichung \(\varphi(s) = 1\) und im Falle \(\lim\limits_{s\to\sigma+0}\varphi(s) \leqq 1\)\ \ \ \(\sigma' = \sigma\) ist. Es gilt \[ \omega(s)=\dfrac{\gamma(s)}{1-\varphi(s)}. \tag{3} \] \textit{Satz 2}. \(f(t)\) und \(g(t)\) seien meßbar, nichtnegativ und beschränkt in jedem endlichen Intervall \(0\leqq t\leqq T\). Die Laplace-Integrale \[ \varphi(s) = \int\limits_0^\infty e^{-st}f(t) dt,\quad \gamma(s) =\int\limits_0^\infty e^{-st} g(t) dt \] mögen für \(s > \sigma\) konvergieren. Dann existiert eine und nur eine nichtnegative Lösung von (1), die in jedem endlichen Intervall beschränkt ist. Ihr Laplace-Integral \(\omega(s) = \int\limits_0^\infty e^{-st}u(t) dt\) konvergiert mindestens für \(s > \sigma'\) (Definition wie in Satz 1). Es gilt (3). Auf Grund eines Satzes von Tauberschem Charakter über Laplace-Integrale von positiven Funktionen ergibt sich zunächst ein Resultat über das asymptotische Verhalten des Mittelwertes \(u^*(t) = \dfrac1t\int\limits_0^t u(\tau) d\tau\) (Satz 3) und sodann unter Benutzung eines Satzes über indirekte Abelsche Asymptotik bei Laplace-Integralen folgender Satz über das asymptotische Verhalten von \(u(t)\) selbst: \textit{Satz} 4. Die Funktionen von Satz 2 mögen die Bedingungen erfüllen: \[ \int\limits_0^\infty f(t)dt=1,\quad \int\limits_0^\infty g(t)dt=b,\quad m_k=\int\limits_0^\infty t^kf(t)dt<\infty\;\text{für}\;k= 1,\ldots, n (\geqq 2). \] Es seien \(f(t)\), \(tf(t),\ldots, t^{n-2}f(t)\) von endlicher totaler Variation in (\(0, \infty\)) und \[ \lim\limits_{t\to\infty} t^{n-2}g(t) = 0, \lim\limits_{t\to\infty}t^{n-2} \int\limits_t^\infty g(x)dx = 0.\qquad \text{Dann ist} \] \[ \lim\limits_{t\to\infty}u(t) = \dfrac{b}{m_1}\;\text{und genauer}\;\lim\limits_{t\to\infty} t^{n-2}\bigg(u(t)-\dfrac{b}{m_1} \bigg) = 0. \] Die in der Praxis meist gebrauchte Methode zur Herstellung der Lösung ist die von Lotka, die darauf beruht, in (3) die Nullstellen des Nenners aufzusuchen, \(\omega(s)\) in eine Partialbruchreihe zu entwickeln und diese gliedweise durch die Umkehrung der Laplace-Transformation zu übersetzen. Hiergegen sind genau dieselben Einwände zu machen, wie gegen das ``Expansion Theorem'' im Heavisidekalkül, das auf denselben Gedanken beruht. Verf. stellt in Satz 6 Bedingungen (allerdings nur für einen ganz besonders einfachen Fall) auf, unter denen die Entwicklung von \(\omega(s)\) in der Gestalt \(\sum\dfrac{A_k}{s-s_k}\) und entsprechend die von \(u(t)\) in der Gestalt \(\sum A_ke^{s_k t}\) möglich ist.