Wechselbeziehungen zwischen Differentialgleichungen und Integralgleichungen. (Q2582246)

Das Cauchysche Anfangswertproblem und das Lagrangesche Problem (Bestimmung der Lösung durch \(n\) Punkte) der gewöhnlichen Differentialgleichung \[ f^{(n)}(x) + \sum\limits_{\nu=0}^{n-1} a_\nu(x)f^{(\nu)}(x) = g(x) \tag{1} \] werden auf die Form einer Integralgleichung gebracht, in der \(f(x)\) selbst, nicht wie bisher üblich \(f^{(n)}(x)\), die unbekannte Funktion ist. \textit{Cauchysches Problem}: Dieses führt, wenn \(x_0\) die Anfangsstelle bezeichnet, auf die Volterrasche Integralgleichung zweiter Art \[ \begin{multlined} f(x)+\int\limits_{x_0}^x \mathfrak A_\xi\bigg\{ \dfrac{(x-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg\} f(\xi)d\xi = \int\limits_{x_0}^x \dfrac{(x-\xi)^{n-1}}{(n-1)!} g(\xi)d\xi\\ +\sum\limits_{\nu=0}^{n-1} f^{(\nu)}(x_0)\bigg[ \dfrac{(x-x_0)^\nu}{\nu!}+\varDelta^{\nu+1}\mathfrak A_{x_0} \bigg\{ \dfrac{(x-x_0)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg\}\bigg] \end{multlined} \] \[ \begin{multlined} \text{mit} \quad \mathfrak A_\xi \bigg\{ \dfrac{(x-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg\}=\sum\limits_{\mu=0}^{n-1} (-1)^\mu\bigg\{a_\mu(\xi)\dfrac{(x-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg\}^{(\mu)}\quad \text{und}\\ \varDelta^{\nu+1}\mathfrak A_{x_0}\bigg\{ \dfrac{(x-x_0)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg\}=\sum\limits_{\mu=\nu+1}^{n-1} (-1)^{\mu-\nu-1}\bigg(a_\mu(x_0) \dfrac{(x-x_0)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg)^{(\mu-\nu-1)}. \end{multlined} \] Es gilt auch die Umkehrung: Ist eine Volterrasche Integralgleichung zweiter Art mit einem Kern \(K(x, \xi)\) gegeben, der in bezug auf \(x\) ein Polynom \((n - 1)\)-ten Grades ist, so ist diese äquivalent einem Cauchyschen Problem der Form (1), dessen Koeffizienten \(a_\nu(x)\) sich durch die Ableitungen des Kernes nach \(\xi\) an der Stelle \(\xi=x\) bestimmen, während die Anfangswerte \(f(x_0), f'(x_0),\ldots, f^{(n-1)}(x_0)\) und \(g(x)\) sich aus den Ableitungen der rechten Seite der Volterraschen Integralgleichung ergeben. \textit{Lagrangesches Problem:} Die Lösung von (1), die durch die Punkte \((x_\nu, f(x_\nu))\) für \(v = 1, 2,\ldots, n\) hindurchgeht, genügt der Integralgleichung zweiter Art \[ \begin{multlined} f(x) + \sum\limits_\nu\int\limits_{x_\nu}^x\mathfrak A_\xi \bigg\{L_\nu(x) \dfrac{(x_\nu-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg\}f(\xi)d\xi\\ = \sum\limits_\nu\int\limits_{x_\nu}^x L_\nu(x) \dfrac{(x_\nu-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}g(\xi)d\xi+ \sum\limits_\nu f(x_\nu)L_\nu(x)\\ \end{multlined} \] mit \[ L_\nu(x) = \dfrac{L(x)}{(x-x_\nu)L'(x_\nu)}\quad \text{und}\quad L(x) = (x- x_1)(x - x_2)\cdots (x - x_n), \] sowie \[ \mathfrak A_\xi\bigg\{L_\nu(x) \dfrac{(x_\nu-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg\}= \sum\limits_{\mu=0}^{n-1} (-1)^\mu\bigg(a_\mu(\xi)L_\nu(x) \dfrac{(x_\nu-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}\bigg)^{(\mu)}. \] Auch hier gilt ein Umkehrproblem, dessen Formulierung aber nicht ganz so befriedigend ist wie beim Cauchyschen Problem.