Die endliche Fouriersche Abbildung und ihr Nutzen bei Aufgaben der Wärmeleitung in Stäben und Platten. (Q2582286)

Variiert in einer linearen partiellen Differentialgleichung eine unabhängige Variable in dem unendlichen Grundgebiet \(0 < t < \infty\), so kann man auf die Gleichung hinsichtlich der Variablen \(t\) die Laplace-Transformation anwenden. Variiert eine andere unabhängige Variable in dem endlichen Grundgebiet \(-l < x < l\), so kann man statt dessen hinsichtlich \(x\) die ``endliche Fourier-Transformation'' \[ \mathfrak f\{G\}\equiv \int\limits_{-l}^l e^{-in\tfrac{\pi}{l}x}G(x)dx = g_n\quad (n = 0, \pm1,\ldots) \] anwenden (\textit{Doetsch}, Math. Ann., Berlin, 112 (1935), 52-68; JFM 61.1201.*). Aus einer partiellen Differentialgleichung mit zwei unabhängigen Variablen \(x\) und \(t\) wird durch die Transformation \(\mathfrak f\) eine gewöhnliche Differentialgleichung mit der Variablen \(t\), da durch \(\mathfrak f\) die Ableitungen nach \(x\) entfernt werden. Diese einfachere Gleichung ist zu lösen und das Ergebnis durch die Umkehrung von \(\mathfrak f\) zarückzutransformieren, um die Lösung der ursprünglichen Gleichung zu erhalten. -- Diese Methode ist von Doetsch an dem Beispiel der Wärmeleitungsgleichung im Stab: \(U_{xx}= U_t\) unter Randbedingungen 1. Art vorgeführt worden. Verf. wendet das Verfahren zunächst auf dieselbe Gleichung unter Randbedingungen 2. und 3. Art an, und verallgemeinert es dann auf mehrere, in endlichen Intervallen variierende Variable, indem er z. B. bei zwei Variablen \(x\) und \(y(-b < x < b, -c < y < c)\) die zweidimensionale endliche Fourier-Transformation \[ \mathfrak F\{G\}\equiv \int\limits_{-b}^c\int\limits_{-c}^c e^{-im\tfrac\pi{b}x-in\tfrac\pi{c}y} G(x,y)dxdy \] benutzt, für die er ähnliche Sätze über die Abbildung der Ableitungen und der Faltung beweist, wie sie in einer Dimension gelten. Die Methode wird für sechs verschiedene Arten von Randbedingungen bei der Wärmeleitungsgleichung für das Rechteck: \(V_{xx} + U_{yy} = U_t\) durchgeführt (an gewissen Rändern wird die Temperatur, an den anderen der Wärmefluß vorgegeben, was sich in verschiedenen Kombinationen durchführen läßt).