Application of Mellin's transformation to the deduction of some summation formulae. (Q2582306)

Unter Benutzung der Mellin-Transformation werden folgende Summenformeln abgeleitet: \[ \sum\limits_1^\infty f(n) = -\dfrac{f(0)}2+\int\limits_0^\infty f(x)dx 2\int\limits_0^\infty\dfrac{f(ix)-f(-ix)}{2i}\dfrac{dx}{e^{2\pi x}-1}, \] \[ f(x) = \int\limits_0^1 f(\tau)d\tau + 2\sum\limits_{\nu=1}^\infty\int\limits_0^1 f(\tau) \cos 2\nu\pi(\tau-x)d\tau \quad \text{(Fourier)}, \] \[ \begin{multlined} \sum\limits_{n>\alpha}^{n\leqq\beta} d(n)f(n) = \dfrac12 d(\beta)f(\beta)\dfrac12d(\alpha)f(\alpha)+ \int\limits_\alpha^\beta (2\gamma + \log x) f(x) dx\\ + 2\pi\sum\limits_{n=1}^\infty d(n)\int\limits_\alpha^\beta f(x) \{- Y_0(4\pi\sqrt{nx}) + \dfrac2\pi K_0(4\pi\sqrt{nx})\}dz \quad \text{(Voronoi)} \end{multlined} \] (\(d(n) =\) Anzahl der Teiler von \(n\)). Über Gültigkeitsbedingungen ist aus dem englischen Auszug nichts zu ersehen.