Some more uniformly convex spaces. (Q2582316)

Ein Banachraum \(B\) heißt gleichmäßig konvex, wenn zu jedem \(\varepsilon\), \(0< \varepsilon\leqq 2\) ein positives \(\delta(\varepsilon)\) existiert, so daß aus \(||b|| = || b' || = 1\) und \(|| b - b' || > \varepsilon\) folgt, daß \(|| b + b'|| <2(1 - \delta(\varepsilon))\) ist. Eine Folge \(B_i\) von Banachräumen besitzt einen gemeinsamen Modul der Konvexität, wenn es eine Funktion \(\delta(\varepsilon)\) gibt, die für alle \(B_i\) gilt. Mit \(P^p\{B_i\}\) wird der Raum aller Folgen \(b = \{b_i\}\), \(b_i\in B_i\), mit der Norm \(||b|| =\bigg(\sum\limits_i ||b_i||^p\bigg)^{1/p}\), \(1<p<\infty\), bezeichnet. Es wird bewiesen, daß \(P^p\{B_i\}\) dann und nur dann gleichmäßig konvex ist, wenn die \(B_i\) einen gemeinsamen Modul der Konvexität besitzen. Daraus folgt, daß \(P^p\{B_i\}\) gleichmäßig konvex ist für \(B_i = l^{p_i}\) oder \(L^{p_i}\), \(1<m\leqq p^i\leqq M<\infty\). Wird \(P^p\{B_i\}\), \(B_i = B_0\) für alle \(i\), mit \(l^p(B_0)\) bezeichnet, und ist \(L^p(B_0)\) der Raum aller Bochnerintegrablen Funktionen auf \([0,1]\) mit Werten in \(B_0\) und der Norm \(||f|| = \bigg[\int\limits_0^1 || f(x) ||^p dx\bigg]^{1/p} < \infty\), so gilt: \(l^p(B_0)\) und \(L^p(B_0)\) sind dann und nur dann gleichmäßig konvex, wenn \(B_0\) es ist.