Sur le théorème de Lebesgue-Nikodym. (Q2582326)

\textit{F. Riesz} (Ann. Math., Princeton, (2) 41 (1940), 174-206; F. d. M. 66, 553) hat eine Verallgemeinerung des Satzes von Lebesgue-Nikodym gegeben, eine andere gab N. Bourbaki in einer unveröffentlichten Arbeit. Verf. gibt eine Fassung, die allgemeiner als die von Bourbaki und schärfer als die von F. Riesz ist und beide Methoden vereinigt. \(E\) sei ein Vektorraum in bezug auf den Körper der reellen Zahlen. E sei ferner ein Verband bezüglich der Operationen in \((x, y)\) und \(\sup(x, y)\). Aus \(x\leqq y\) folge \(x+z\leqq y+z\), aus \(x\geqq 0\), \(\lambda \geqq 0\) (\(\lambda \) reell) folge \(\lambda x\geqq 0\). Es gelten die Bezeichnungen \(|\,x\,|=\sup (x,-x)\), \(x^+=\sup(x, 0)\), \(x^-=\sup(-x,0)\), also \(|\,x\,|=x^++x^-\), \(x=x^+-x^-\). Die Elemente \(\geqq 0\) bilden die Menge \(E_+\). Es werden auf \(E\) lineare reelle Funktionen \(U(x)\) betrachtet. \(U(x)\) heißt positiv, wenn \(U(x)\geqq 0\) für \(x\in E_+\), \(U(x)\) heißt relativ beschränkt, wenn für jedes \(y\in E_+\) die Menge der \(|\,U(x)\,|\) mit \(|\,x\,|\leqq y\) beschränkt ist. \(F\) sei der Raum der auf \(E\) relativ beschränkten \(U(x)\). \(F\) erfüllt die oben angegebenen Voraussetzungen für \(E\) ebenfalls, wenn \(U\geqq V\) durch \(U - V\geqq 0\) erklärt wird. \(F\) ist ein lokal konvexer vollständiger Raum bezüglich der Pseudonormen \(N_x(X)=|\,X\,|(x),\) \(x\in E_+\). \(E\) wird weiter als kommutativer Ring vorausgesetzt, so daß \(\lambda (xy)=(\lambda x)\,y\) für jedes reelle \(\lambda \) gilt, und daß aus \(x\geqq 0\) stets \(\sup(xy, xz)=x\cdot \sup(y, z)\) folgt. Daraus folgt z. B. für \(X\in F_+\) die Schwarzsche Ungleichung \[ |\,X(xy)\,|\leqq (X(x^2))^\frac{1}{2}(X(y^2))^\frac{1}{2}. \] \(U\) sei im folgenden eine lineare positive Funktion auf \(E\) mit den Eigenschaften: (1) Aus \(U(|\,x\,|)=0\) folgt \(x = 0\); (2) zu, jedem \(y\in E\) existiert eine Zahl \(\| y\|\geqq 0\), so daß für jedes \(x\in E\) \(|\,U(yx)\,|\leqq \| y\|\cdot U(|\,x\,|)\) gilt; (3) für jedes \(X\in F\) mit \(0\leqq X\leqq U\) und jedes \(x\in E\) gilt \(X(|\,x\,|)=\displaystyle \sup_{|\,y\,|\in S}|\,X(yx)\,|\), wobei \(S\) die Menge aller \(y\in E_+\) ist, so daß für jedes \(x\in E_+\) gilt \(yx\leqq x\). Die vorliegenden Eigenschaften für \(E\) sind erfüllt für die reellen Funktionen auf einer Menge \(A\), (1) und (2) für jedes positive \(U\), sobald \(E\) nur aus beschränkten Funktionen besteht, (3) wenn \(E\) die Funktion \(+ 1\) enthält oder mit jedem \(x\in E_+\) auch \(\sqrt{x}\). Es wird gezeigt, daß (3) unabhängig von den anderen Axiomen ist, und ein Beispiel angegeben, daß der Satz von Lebesgue-Nikodym beim Nichterfülltsein von (3) falsch ist. Dieser Satz läßt sich nun folgendermaßen formulieren: Mit \(U_{y}\) wird die Linearfunktion \(x\to U(yx)\) bezeichnet. Die Zuordnung \(y\to U_y\) ist ein Strukturisomorphismus von \(E\) mit einem Teilraum \(F_{U}\) von \(F\). Der Topologie von \(F_{U}\) entspricht in \(E\) eine durch die Pseudonormen \(N_y'(x)=U_y(|\,x\,|)\) \((y\geqq 0)\) erzeugte. Vervollständigt man \(E\) nach dieser Topologie, so erhält man einen Raum \(E_{U}\), dem die vollständige Hülle \(F_{U}\) in \(F\) entspricht. Jedem \(y\) in \(E_{U}\) entspricht so eineindeutig ein \(U_{y}\) in \(F_{U}\), das als die Funktion \(x\to U(yx)\) aufgefaßt werden kann, denn man kann das Produkt \(yx\) für \(y\in E_U\), \(x\in E\), ohne weiteres durch stetige Fortsetzung erklären, ebenso \(U(z)\) für alle \(z\in E_U\) Mit dieser Bezeichnungsweise gilt nun: \textit{Jedes \(X\in F_+\) gestattet eine Zerlegung \(X=U_y+Z\) mit} inf \((Z,U)=0\), \(y\in E_{U}.\)