Sur une propriété de la base dans l'espace de Hilbert. (Q2582329)

\(\{\varphi _i\}\) und \(\{\varphi ^i\}\) seien zwei Folgen von Elementen eines Hilbertschen Raumes \(H\), die ein Biorthogonalsystem bilden, d. h. \((\varphi _i,\varphi ^j)=\delta _{ij}\). Ferner sei \(\{\varphi _i\}\) vollständig in \(H\). Verf. setzen \[ \psi _n^{ij}=\textstyle \sum\limits_{\alpha =i}^{n}\sum\limits_{\beta =j}^{n}(\varphi _i,\varphi _\alpha )(\varphi _\beta,\varphi _j)(\varphi ^i,\varphi ^j)\qquad(i, j=1,2,\dots,n) \] und bezeichnen mit \(\varPsi _n\) die Matrix der \(n^2\) Elemente \(\psi _n^{ij}\). Sie beweisen den Satz: Notwendig und hinreichend dafür, daß \(\{\varphi _i\}\) eine Basis ist, d. h. daß \(f\in H\) darzustellen ist als \[ f=\textstyle \sum\limits_{i}(f,\varphi ^i)\varphi _i, \] ist die Vollständigkeit des Systems \(\{\varphi _i\}\) in \(H\) und die Beschränktheit der größten Wurzel \(\lambda \) der charakteristischen Gleichung \(|\,\varPsi _n-\lambda E\,|=0\) für \(n\to \infty \). Die erste dieser Bedingungen kann übrigens ersetzt werden durch die Bedingung \(\displaystyle \lim_{n\to\infty }\psi _n^{ii}=1\) für jedes \(i\). -- Der Beweis beruht auf einem Satz von \textit{Banach} (Théorie des opérations linéaires (Warschau 1932; JFM 58.0420.*), S. 106-108).