Sur les anneaux semi-ordonnés. (Q2582335)

\(R\) sei ein linearer halbgeordneter Raum, der zugleich ein Ring ist. Aus \(x > 0\), \(y > 0\) folge \(xy > 0\). Ein zweiseitiges Ideal \(I\) von \(R\) heiße fundamental, wenn aus den Beziehungen \(0 < y < x\), \(x\in I\) folgt \(y\in I\). Dann kann \(R/I\) halbgeordnet werden, indem man \(X > Y\) (\(X\), \(Y\in R/I\)) setzt, wenn es ein \(x\in X\) und ein \(y\in Y\) gibt mit \(x > y\). Ferner werde vorausgesetzt, daß \(R\) ein Einheitselement \(e\) besitzt, und daß jedes Element \(x\) aus \(R\) in bezug auf \(e\) beschränkt ist, d. h. daß es eine Zahl \(t\) gibt, so daß \(-te<x<te\). \(- M\) sei ein fundamentales maximales Ideal von \(R\), dann kann man eine eineindeutige Zuordnung zwischen dem halbgeordneten Ring \(R/M\) und dem Körper der reellen Zahlen herstellen, bei der Addition, Multiplikation und Anordnung erhalten bleiben (isomorphe Ähnlichkeit; dieser Satz steht in Zusammenhang mit einem Satz von \textit{I. Gelfand} (vgl. die erste der vorstehend besprochenen Arbeiten). \(x(M)\) sei die reelle Zahl, die der Klasse \(X\) von \(R/M\), die das Element \(x\) enthält, entspricht. Führt man in der Menge \(\mathfrak M\) der fundamentalen maximalen Ideale von \(R\) die von den Funktionen \(x(M)\) erzeugte schwache Topologie ein, so wird \(\mathfrak M\) zu einem bikompakten Raum, und die Funktionen \(x(M)\) werden natürlich stetig auf \(\mathfrak M\). \(\varrho _x\) sei die untere Grenze der \(t\)-Werte mit \(-te < x < te\); dann gelte auch \(x<\varrho _xe\). Unter dieser Bedingung ist die Zuordnung \(x\to x(M)\) eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen dem Ring \(R\) und einem überall dichten Teilring des Ringes aller stetigen Funktionen auf \(\mathfrak M\) (Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Stone}, Proc. nat. Acad. Sci. USA 26 (1940), 280-283; F. d. M. 66). Stone hat \textit{a priori} angenommen, daß \(R\) kommutativ ist und \(x^2 > 0\) ist für \(x\neq 0\).