Statistics, set functions and spectra. (Q2582350)

Es sei \(R\) ein teilweise geordneter Banachscher Raum, der gleichzeitig auch ein Ring mit Einselement 1 ist, Das Produkt \(f\cdot g\) sei stetig in beiden Faktoren, und es soll aus \(f^2= 0\) folgen, daß \(f= 0\). Dann läßt jedes Element \(f\) eine Spektraldarstellung \(f=\int\limits_{-\infty }^{\infty }\lambda de_f(\lambda )\) zu, wo \(e_f(\lambda )\) eine monotone Schar von idempotenten Elementen aus \(R\) ist. \(L(f)\) sei eine auf \(R\) definierte lineare Operation, für die \(L(f)\geqq 0\), wenn \(f\geqq 0\), und \(L(1) = 1\). Man betrachte eine Folge \(f_1\), \(f_2\),\dots von Elementen aus \(R\), die unabhängig voneinander in bezug auf \(L\) sind, d. h. es soll \[ L(e_{f_{ 1}}(\lambda _1)e_{f_{ 2}}(\lambda _2) \dots e_{f_{ n}}(\lambda _n))=L(e_{f_{ 1}}(\lambda _1))\,L(e_{f_{ 2}}(\lambda _2))\dots L(e_{f_{ n}}(\lambda _n)) \] für alle \(n\), \(f_1\), \(f_2\),\dots, \(f_n\) gelten. Nimmt man ferner an, daß \(L(f_i)=0\) für \(i = 1\), 2,\dots und \(\sum\limits_{i=1}^{n}L(f_i^2)=o(n^2)\), dann gilt \[ L(e_{|\,s_n\,|}(\lambda ))\geqq 1-\frac{1}{n^2\lambda ^2}L(s_n^2)=1-o\biggl(\frac{1}{\lambda ^2}\biggr), \] wo \(s_n=f_1+f_2+\dots +f_n\) ist. Dies ist eine Verallgemeinerung des Gesetzes der großen Zahlen von Bernoulli.