Un teorema sulle iterazioni successive dei nuclei continui simmetrici e omogenei di grado 1 agenti in \(L_{2}\). (Q2582352)

Im Raum \(L_2\) der in einem Gebiet \(\varSigma \) quadratisch integrablen Funktionen \(x\) von \(n\) Variablen werden die Norm \(\|\,x\,\|\) und das innere Produkt \(|\,x, y\,|\) in üblicher Weise definiert. \(N\) sei ein stetiger, symmetrischer, homogener Operator vom Grad 1: \[ N(\alpha x)=\alpha N(x)\;(\alpha =\text{Skalar}),\;\;|\,y,N(x)\,|=|\,x, N(y)\,|. \] Ihm wird zugeordnet der Operator \(M(x)=\dfrac{N(x)}{\|\,N(x)\,\|}\). Aus einem Element \(x_0\) von \(L_2\) mit der Norm 1 wird eine Folge \(\bigl\{x_n^{[x_0]}\bigr\}\) so konstruiert: Man setze \[ y_{n+1}^{[x_0]}=N\bigl(x_n^{[x_0]}\bigr)\;\text{und}\;\text{dann}\;\bigl\|\,y_{n+1}^{[x_0]}\,\bigr\|=\frac{1}{\lambda _{n+1}^{[x_0]}}, \;\,x_{n+1}^{[x_0]}=\lambda _{n+1}^{[x_0]}y_{n+1}^{[x_0]}. \] Die Menge aller Grenzpunkte von \(\bigl\{x_n^{[x_0]}\bigr\}\) heiße \([\xi ]^{[x_0]}\). \textit{Satz}: Wenn die Folge \(\bigl\{\lambda _n^{[x_0]}\bigr\}\) gegen eine von 0 verschiedene Zahl \(\lambda ^{[x_0]}\) konvergiert, dann ist der Operator \(M\) in \([\xi ]^{[x_0]}\) involutorisch. Jedes Element von \([\xi ]^{[x_0]}\) ist Eigenfunktion von \(N^2\) zum Eigenwert \(\bigl(\lambda ^{[x_0]}\bigr)^2\).