Grundlagen einer Theorie der Greenschen Funktionen. I. (Q2582359)

Ziel des Verf. ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der Greenschen Funktion unter dem Gesichtswinkel der Funktionalanalysis. Vorgelegt sei eine lineare Funktionalgleichung (1) \(Af(P)=F(P)\) mit gegebenem \(F\) und gesuchtem \(f\); \(f\) möge außerdem einer Reihe linear-homogener Randbedingungen \((R)\), die zur Individualisierung der Lösung ausreichen, unterworfen sein. Elementarlösung von (1) ist eine im Operationsgebiet \(D\) erklärte Funktion \(k(P, P')\) derart, daß \(A\int\limits_{S}k(P,P')F(P')dP'=F(P)\) bzw. \(= 0\) ist, je nachdem das in \(D\) gelegene Integrationsgebiet \(S\) den Punkt \(P\) enthält oder nicht; Greensche Funktion von \((1)+ (R)\) ist ein \(g(P, P')\) derart, daß \(\int\limits_{S}g(P, P')F(P')dP'\) eine Lösung von \((1) + (R)\) ist. Man kann die Lösung von (1) als gemischtes Funktional \(f[F (Q); P]\) im Bereich etwa der in \(D\) stetigen Funktionen \(F\) auffassen, und dann ist \(g(P, P')\) die Funktionalderivierte von \(f\) bezüglich \(F\) in \(P'\), und diese muß regulär sein; daher braucht es i. a. zu (1) keine Greensche Funktion zu geben. Ist \(f\) bezüglich \(F\) stetig, so kann es nach dem Rieszschen Satz durch ein Stieltjesintegral \(f(P)=\int\limits_{D}F(P')d_PG(P,P')\) dargestellt werden, und jede Belegungsfunktion \(G(P, P')\) von beschränkter Schwankung wird als verallgemeinerte Greensche Funktion definiert. Unter Umständen gilt auch für diese allgemeineren Funktionen der Mercersche Satz bezüglich ihrer Entwicklung nach Eigenfunktionen des Problems \(Af(P)=\lambda f(P)\) mit \((R)\).