Numerische Integration der Gleichungen vom elliptischen und parabolischen Typus. (Q2582482)

Das Randwertproblem einer elliptischen Differentialgleichung (z. B. der inhomogenen Potentialgleichung) löst Verf. näherungsweise nach dem Differenzenverfahren, indem in das vorliegende Gebiet ein quadratisches Netz gelebt und die Randkurve \(\gamma \) durch einen gebrochenen Streckenzug \(\gamma '\) ersetzt wird, dessen Ecken Gitterpunkte sind. \textit{Gerschgorin} (Z. angew. Math. Mech. 10 (1930), 373-382; JFM 56.0467.*) setzte die Näherungswerte auf \(\gamma '\) gleich den gegebenen Randwerten auf entsprechenden Punkten von \(\gamma \), der Ref. (Z. angew. Math. Mech. 13 (1933), 56-57; JFM 59.0529.*) setzte die Näherungsfunktion auf einem Geradenstück, das vom Rande \(\gamma \) über \(\gamma '\) ins Gebietsinnere reichte, linear an, und Verf. stellt für jeden Gitterpunkt von \(\gamma '\) eine Differenzengleichung auf. An einem Zahlenbeispiel wird gezeigt, daß diese Vorgehensart zu genaueren Ergebnissen führt, allerdings auch größere Rechenarbeit erfordert. Eine Fehlerabschätzung wird durchgeführt. Die Methode läßt sich auch auf andere partielle Differentialgleichungen, z. B. die Wärmeleitungsgleichung, übertragen.