Sur le domaine d'attraction de la loi de Poisson. (Q2582527)

Sei \(x_{1}\), \(x_{2}\),\dots eine Folge von gegenseitig unabhängigen Zufallsgrößen mit dem gleichen Verteilungsgesetz \(F(x)\). \(F(x)\) heißt zum Gebiet der totalen Anziehung des Verteilungsgesetzes \(\varPhi (x)\) gehörig, wenn es Konstanten \(A_n\) und \(B_n>0\)(\(n = 1\), 2,\dots ) gibt, so daß die Verteilungsgesetze von \[ S_n=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{B_n}-A_n \] für \(n\to\infty \) gegen \(\varPhi (x)\) konvergieren. Wenn dies nicht gilt, aber eine Teilfolge der \(S_n\) existiert, so daß die zugehörigen Verteilungsgesetze gegen \(\varPhi (x)\) konvergieren, so heißt \(F(x)\) zum Gebiet der partiellen Anziehung von \(\varPhi (x)\) gehörig. Das Poissonsche Gesetz \(\varPhi (x)=\sum\limits_{m=0}^{[x]}\dfrac{\lambda ^m}{m!}e^{-\lambda }\) besitzt kein Gebiet der totalen Anziehung. Verf. beweist: Das Verteilungsgesetz \(F(x)\) gehört dann und nur dann zum Gebiet der partiellen Anziehung des Poissonschen Gesetzes, wenn für jedes \(0<\varepsilon <1\) gilt \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \varliminf_{C\to\infty } \frac{\displaystyle \int\limits_{|\,x-1\,|>\varepsilon }\dfrac{x^2}{1+x^2}dF(Cx)}{\textstyle \int\limits_{|\,x-1\,|<\varepsilon }dF(Cx)}=0.\hfill} \] Ein Gebiet der partiellen Anziehung besitzen alle ``unbegrenzt teilbaren'' Verteilungsgesetze, und nur diese (vgl. \textit{A. Ja. Chinčin (Khintchine)}, Asymptotische Gesetze für Summen unabhängiger Zufallsgrößen, Moskau, ONTI, 1938, S. 105 (Russisch)). Für die charakteristische Funktion \(\varphi (t)\) eines solchen Gesetzes gilt nach Lévy-Khintchine die kanonische Darstellung \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill \log\,\varphi (t) =i\gamma t+\int\limits_{-\infty }^{+\infty }\biggl(e^{itu}-1-\frac{itu}{1+u^2}\biggr)\frac{1+u^2}{u^2}dG(u),\hfill} \] wo \(\gamma \) eine reelle Konstante und \(G(u)\), eine nicht abnehmende beschränkte Funktion ist. Verf. zeigt, daß ein durch (2) definiertes Verteilungsgesetz dann und nur dann zum Gebiet der partiellen Anziehung des Poissonschen Gesetzes gehört, wenn die Beziehung besteht, die aus (1) hervorgeht, wenn man \(F\) durch \(G\) ersetzt. Damit das Gesetz (2) zum Gebiet der partiellen Anziehung des Gaußschen Gesetzes gehört, ist notwendig und hinreichend \[ \varliminf_{C\to\infty }\frac{C^2\textstyle \kern-6pt\int\limits_{|\,u\,|>C}\kern-3pt dG(u)}{\textstyle \int\limits_{|\,u\,|<C}\kern-3pt(1+u^2)\,dG(u)}=0. \] Daß diese Beziehung mit \(F\) statt \(G\) die notwendige und hinreichende Bedingung dafür darstellt, daß das Verteilungsgesetz \(F(x)\) zum Gebiet der partiellen Anziehung des Gaußschen Gesetzes gehört, hat \textit{P. Lévy} (Théorie de l'addition des variables aléatoires (1937; JFM 63.0490.*), p. 113) angegeben.