La loi forte des grands nombres pour les variables aléatoires liées. (Q2582530)

Es seien \(x_{i}\) auf den Mittelwert Null normierte Zufallsveränderlichen mit den Streuungsquadraten \(\sigma _i^2\) und den oberen Grenzen \(\overline{\mu }_i'\) ihrer absolut genommenen Mittelwerte bei \textit{bekannten} \(x_{1}\),\dots, \(x_{i-1}\). Gibt es dann eine nichtwachsende Folge positiver Zahlen \(a_{n}\) so, daß die \(n\)-ten Teilsummen der \(\overline{\mu }_i'\) bzw. \(\sigma _i^2\), gleich \(o(a_n)\) bzw. \(O(a_n^2)\) werden, so wird für beliebig kleine positive \(\gamma \) und \(q-1\) auch die \(n\)-te Teilsumme der \(x_{i}\) fast sicher gleich \(o(n^\gamma a_{[nq]})\). Dafür, daß diese Teilsumme fast sicher gleich \(o(a_n)\) sei, ist neben den Bedingungen, daß die \(n\)-te Teilsumme der \(\overline{\mu }_i'\) bzw. \(\dfrac{\sigma _i^2}{a_i^2}\) gleich \(o(a_n)\) bzw. \(O(1)\) sei, die Existenz einer Teilfolge \(a_{ni}\) mit \(a_{n{ i}}/a_{n{ i+1}}\to \alpha >0\) hinreichend. Spezielle Fälle ergeben Erweiterungen einiger von P. Lévy, Kolmogoroff, Glivenko und Cantelli angegebenen Resultate für unabhängige Veränderliche bzw. Ereignisse.