Sur la notion de fonction aléatoire. (Q2582556)

Verf. unterscheidet zwischen Zufallsfunktionen (Zf.) im engeren Sinne (i. e. S.) und solchen im weiteren Sinne (i. w. S.). Eine Funktion \(X(t)\) der Zeit \(t\) heißt Zf. i. e. S., wenn ihr Wert nur zu höchstens abzählbar vielen, im voraus festgelegten Zeitpunkten durch den Zufall bestimmt wird. Eine solche Funktion hat die Eigenschaft, in jedem vorgegebenen Punkt \(t\) fast sicher stetig zu sein, während sie in den Zufallspunkten fast sicher unstetig ist. \(X(t)\) heißt Zf. i. w. S., wenn ihr Wert in jedem Zeitpunkt \(t\) vom Zufall bestimmt wird. Verf. führt die Untersuchung von Zf. i. w. S. im wesentlichen auf diejenige von Zf. i. e. S. zurück, indem er zu einer Zf. i. w. S. \(X(t)\), die gewissen Voraussetzungen genügt, eine \textit{effektive Funktion} \(Y(t)\) konstruiert, die der Grenzwert einer Folge von Zf. i. e. S. mit endlich vielen Zufallspunkten ist und für die fast sicher \(X(t) = Y(t)\) gilt (mit Ausnahme einer Menge vom Maß 0, für die \(Y(t)\) nicht definiert zu sein braucht). Verf. zeigt, daß wenn \(X(t)\) stochastisch stetig (im Sinne von Slutsky) ist, eine effektive Funktion \(Y(t)\) konstruiert werden kann, die fast sicher höchstens zur zweiten Baireschen Klasse gehört. Stellt man an \(X(t)\) die weitergehende Forderung, in jedem Punkt fast sicher stetig zu sein (wie das bei Zf. i. e. S. der Fall ist), so gehört \(Y(t)\) fast sicher höchstens der ersten Klasse an, und ist \(X(t)\) darüber hinaus kompakt (im Sinne von Slutsky), so ist \(Y(t)\) sogar fast sicher stetig. Als Anwendung werden die Frage nach der Wahrscheinlichkeit von \(X(t)\leqq x(t)\) für \(T_1\leqq t\leqq T_2\), wo \(x(t)\) eine gegebene sichere Funktion ist, und hiermit zusammenhängende Probleme behandelt.