Sur des fonctions aléatoires définies par leurs équations aux dérivées partielles. (Q2582557)

Für die Zufallsveränderliche \(X(t)\) bestehe eine Wahrscheinlichkeit \(F(t, x; \tau, \xi )\) dafür, daß, unter der Voraussetzung \(X(t) = x\), zu einem späteren Zeitpunkt \(\tau > t\) die Beziehung \(X(\tau )\leqq \xi \) gilt. Nach \textit{Kolmogoroff} (Math. Ann., Berlin, 104 (1931), 415-458; JFM 57.0613.*) genügt \(F\) als Funktion von \(t\) und \(x\) der parabolischen Gleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(*)} \hfill \frac{\partial u}{\partial t} +a(t, x)\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+b(t, x)\frac{\partial u}{\partial x}=0.\hfill} \] Umgekehrt bestimmt nach \textit{Feller} (Math. Ann., Berlin, 113 (1936), 113-160 (JFM 62.0604.*), S. 119) die Gleichung (*) eine Zufallsveränderliche \(X(t)\) der geschilderten Art. Verf. untersucht unter folgenden Voraussetzungen deren Eigenschaften. Für \(T_1\leqq t\leqq T_2\) gelte: (I) \(a(t, x)=1\), (II) \(b\) und \(\dfrac{\partial b}{\partial x}\) sind beschränkt, (III) \(\dfrac{\partial b}{\partial x}\) genügt einer Lipschitzbedingung. Der allgemeine Fall \(a\neq 1\) kann mittels Transformation der Veränderlichen auf diesen zurückgeführt werden. Es wird bewiesen: \(X(t)\) ist fast sicher stetig, und man hat fast sicher für beliebige \(t'\) und \(t''\) \[ |\,X(t'')-X(t')\,|\leqq c\sqrt{2|\,t''-t'\,|\;\log\,\dfrac{1}{|\,t''-t'\,|}}\quad (c>1,\;\,\text{fest}), \] sofern \(|\,t''-t'\,|\) kleiner ist als eine gewisse positive Zufallsgröße, die von \(t'\) und \(t''\) unabhängig ist. Ferner wird das folgende ``Absorptionsproblem'' behandelt: \(C\) sei eine Kurve der \(t\), \(x\)-Ebene mit der Gleichung \(x = x(t)\). Ferner sei \(\varPhi (t, x;\tau )\) mit \(x < x(t)\) die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens einmal \(X(t')=x(t')\) für \(t\leqq t'\leqq \tau \) ist. Unter anderem zeigt Verf., daß \(\varPhi \) und die Ableitung \(\varphi (t, x; \tau )\) für \(t < \tau \) und \(x < x (t)\) als Funktion von \(t\) und \(x\) Lösung von (*) sind. Für \(\varphi (t, x; \tau )\) wird eine Integralgleichung aufgestellt, in die die Fundamentallösung von (*) eingeht.