Sur la résolution des équations paraboliques linéaires. (Q2582559)

Die Note schließt sich in Inhalt und Bezeichnungen an die beiden vorstehend besprochenen desselben Verf. an. Die Voraussetzungen sind auch die gleichen. Hier wird noch eine weitere Absorptionswahrscheinlichkeit \(\overline{P}_C(t,x;\tau,y)\) eingeführt, die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, daß \(X(t')\leqq x(t')\) im Intervall \(t<t'<\tau\) und \(X(t')\leqq y\leqq x(\tau )\) für \(t' = \tau \) unter der Hypothese \(X(t) = x\) ist. Sie besitzt (abgesehen vielleicht von der Stelle \(y=x(\tau )\)) eine stetige partielle Ableitung \(\overline{p}_C(t,x;\tau,y)\) nach \(y\), deren Eigenschaften angegeben werden. Insbesondere ist \(\overline{p}_C\) im Innern des durch \(x\leqq x(t)\), \(t\leqq \tau \) gegebenen Gebietes \(\mathfrak D\) in den Veränderlichen \(t\) und \(x\) Lösung der partiellen Differentialgleichung \[ L(u)\equiv \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+b(t,x)\frac{\partial u}{\partial x}=0. \] Ist \(f(t)\) eine für \(t\leqq \tau \) definierte, \(g(y)\) eine für \(-\infty <y\leqq x(\tau )\) definierte eindeutige, beschränkte und stetige Funktion, so ist \[ u(t,x)=\textstyle \kern-3pt\int\limits_{t}^{\tau }f(t')d_{t'}\varPhi _C(t,x; t')+\kern-2pt\int\limits_{-\infty }^{x(\tau )}\kern-5pt g(y)\,\overline{p}_C(t, x; \tau,y)dy \] Lösung von \(L(u)=0\) im Innern von \(\mathfrak D\). Die Lösungen dieses Typus nennt Verf. normal. Ihre Eigenschaften, insbesondere ihr Verhalten am Rande, werden untersucht. Bei gegebener Kurve \(C\) hat \(L(u) = 0\) unter gewissen Voraussetzungen eine und nur eine normale Lösung \(u(t, x)\), deren Verhalten am Rande durch \(f(t)\) und \(g(y)\) bestimmt ist. -- Es handelt sich um Verallgemeinerungen von Ergebnissen, die \textit{Petrowski} erhalten hatte (vgl. Compositio math., Groningen, 1 (1935), 383-419; JFM 61.1140.*).