Intégrales stochastiques. (Q2582561)

Ist \(x=f(t)\), \(y=g(t)\) die mit innerhalb \((0, T)\) stetigen Funktionen gebildete Parameterdarstellung einer Kurve \(\varGamma \) und für jedes \(n\): \(t_1\leqq t_2\leqq \dots \leqq t_{n-1}\) ein System voneinander unabhängig, zufallsmäßig gewählter Werte zwischen \(t_0 = 0\) und \(t_n = T\), so gibt es immer Zahlen \(m'\leqq m''\), die fast sicher kleinste bzw. größte Häufungsstellen der Folge \(S_n={\frac{1}{2}}\varSigma [g(t_{k-1})+g(t_k)][f(t_k)-f(t_{k-1})]\) sind und im Falle \(m'=m''\) als ein Zufallsintegral, genauer das \textit{fast sichere Integral} von \(g(t)\) nach \(f(t)\) bezeichnet werden. Die Note kündigt Sätze über die Folge der Erwartungswerte \(\mu _n\) von \(S_{n}\) und der Differenzfolge \(S_n-\mu _n\) an, insbesondere den Satz, daß \(\lim\,(S_n-\mu _n)=0\) fast sicher zu erwarten ist, falls für alle Einteilungen von \((0, T)\) die Bedingungen \(\varSigma |\,\varDelta f_i\,|^\alpha \leqq K\), \(\varSigma |\,\varDelta g_i\,|^\beta \leqq K\) oder die Bedingungen \(\varSigma |\,\varDelta f_i\,|^\alpha \varphi (|\,\varDelta f_i\,|)\leqq K\), \(\varSigma |\,\varDelta g_i\,|^\beta \varphi (|\,\varDelta g_i\,|)\leqq K\) so erfüllt sind, daß \(\alpha ^{-1}+\beta ^{-1}>2^{-1}\) ist und bei positiv monotonem \(\varphi \) die Reihe \(\varSigma 1/\varphi (2^{-n})\) konvergiert. Diese Bedingungen sichern somit bei entsprechenden \(\varGamma \) auch dann die Existenz obigen Zufallsintegrals, wenn das entsprechende Stieltjes-Youngsche Kurvenintegral nicht existiert.