On the joint distribution of the medians in samples from a multivariate population. (Q2582603)

Unter dem Median einer Verteilung \(w(x_1, \,x_2)\) von zwei Veränderlichen versteht Verf. den Punkt \((\xi_1, \,\xi_2)\), dessen Koordinaten durch die Gleichungen \[ \int\limits_{x_1=-\infty}^{\xi_1} \int\limits_{x_2=-\infty}^{+\infty} w(x_1, \,x_2) dx_1dx_2=\frac{1}{2}; \quad \int\limits_{x_1=-\infty}^{+\infty} \int\limits_{x_2=-\infty}^{\xi_2} w(x_1, \,x_2) dx_1dx_2=\frac{1}{2} \] definiert werden. Er entnimmt der Gesamtheit eine Stichprobe des Umfangs \((2n + 1)\) und fragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der entsprechend definierte Median der Stichprobe in das Rechteck \[ \tilde{x}_i-\frac{1}{2} d \tilde{x}_i<x_i<\tilde{x}_i+\frac{1}{2} d \tilde{x}_i, \;\;\; i=1, \,2 \] fällt. Asymptotisch erhält er eine normale Korrelationsfläche. Wenn die Ausgangsverteilung \(w(x_1, \,x_2)\) selbst normal und \(\varrho\) ihr Korrelationskoeffizient ist, so findet Verf. für den Korrelationskoeffizienten \(\varrho_m\) zwischen den einzelnen Medianen \(\tilde{x}_1\) und \(\tilde{x}_2\) den Wert \[ \varrho_m=\frac{2}{\pi} \arcsin \,\varrho. \] Die Überlegungen dehnt Verf. von zwei auf \(k\) Dimensionen aus und schreibt die entsprechenden Formeln in stark konzentrierter Form; praktische Bedeutung dürfte ihnen wegen numerischer Schwierigkeiten kaum zukommen.