Sur la corrélation géométrique. (Q2582663)

Unter geometrischer Korrelation versteht Verf. die Korrelation zwischen den Werten einer Funktion \(f(x, \,y)\) in einem zufallsmäßig herausgegriffenen Punkt \(P_1\) der \(x\), \(y\)-Ebene und einem Punkt \(P_2\), der am Ende eines gegebenen, von \(P_1\) ausgehenden Vektors liegt; ist \(Ef(x, \,y) = 0\) und \(Ef^2(x, \,y) = 1\), so hat der Korrelationskoeffizient demnach die Form \[ r(\xi, \,\eta)=E[f(x, \,y) \,f(x+\xi, \,y+\eta)]. \] Es wird insbesondere angenommen, daß \(r=r(\varDelta)\) nur vom Abstand \(\varDelta=\overline{P_1P_2}\) abhängt, wobei \(r(\varDelta)\) stetig und \(r(0) = 1\) ist. Ferner werden die Korrelationskoeffizienten zwischen den Werten von \(f(x, \,y)\) in einem festen Punkt und den Punkten einer gegebenen Kurve, oder in zwei auf verschiedenen gegebenen Kurven gelegenen Punkten und ähnliche Größen betrachtet und Beziehungen zwischen ihnen abgeleitet. Bei gewissen Anwendungen (Auswahl von Stichproben in der Ebene) bietet sich das Problem dar, den Charakter der Funktionen \(r(\varDelta)\) unter der Bedingung zu bestimmen, daß der partielle Korrelationskoeffizient zwischen den Werten von \(f(x, \,y)\) in zwei Punkten unter Ausschaltung der Punkte auf einer sie trennenden geschlossenen Kurve verschwindet. Während die entsprechende eindimensionale Aufgabe lösbar ist, erweist es sich, daß das ebene Problem, jedenfalls unter den vom Verf. gemachten Annahmen, keine Lösung besitzt, wenn man voraussetzt, daß \(r>0\) bleibt.