Remarques sur la loi des erreurs. (Q2582667)

Die Arbeit behandelt verschiedene Fragen, die Theorie, Anwendungen und Geschichte des Gaußschen Fehlergesetzes betreffen. Insbesondere dürfte die folgende Methode zur Bestimmung des Präzisionsmaßes von Interesse sein. \(M_1, \ldots \!, M_n\) seien die Ergebnisse von \(n\) voneinander unabhängigen Beobachtungen einer gemäß dem Gaußschen Fehlergesetz \(\dfrac{1}{\zeta \sqrt{2\pi}} \exp \left( -\dfrac{(M-z)^2}{2\zeta^2} \right)\) verteilten Zufallsveränderlichen \(M\). Um die unbekannten Größen \(z\) und \(\zeta\) zu bestimmen, faßt Verf. sie beide als (voneinander stochastisch unabhängige) Zufallsvariable auf, wobei die a priori Wahrscheinlichkeitsdichte von \(z\) wie üblich konstant, die von \(\zeta\) proportional \(\zeta^{-\alpha}\) angenommen wird. Als simultane a posteriori Wahrscheinlichkeitsdichte von \(z\) und \(\zeta\) ergibt sich nach dem Bayesschen Satz \[ V_2(z, \,\zeta)=\text{ const} \cdot \zeta^{-n-\alpha} e^{-\sum (M_i-z)^2/2 \zeta^2}. \] Als ``wahrscheinlichste Werte'' von \(z\) und \(\zeta\) bezeichnet Verf. die Werte, für die die \textit{Rand}-Dichten \(\int\limits_{0}^{\infty}V_2(z, \,\zeta) \,d\zeta\) bzw. \(\int\limits_{-\infty}^{\infty}V_2(z, \,\zeta) \,dz\) ihr Maximum erreichen, das sind \(\dfrac{1}{n} \sum M_i\) bzw. \(\dfrac{n\sigma^2}{n+\alpha-1}\), wo \(\sigma^2=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i} \left( M_i-\dfrac{1}{n} \sum\limits_{j} M_j \right)^2\). Als Wahrscheinlichkeit \(P\) der Ungleichung \(\left|\, \dfrac{1}{n} \sum M_i-z \,\right|<\lambda_1\) (oder auch der Ungleichung \(\sum (M_i-z)^2<n(\sigma^2+\lambda_1^2)\)) erhält man \[ P=\frac{2^{n+\alpha-2} \varGamma^2 \left( \dfrac{n+\alpha-1}{2} \right)} {\pi \varGamma(n+\alpha-2)} \int\limits_{0}^{\varphi_1} \cos^{n+\alpha-3} \varphi d \varphi, \;\; \varphi_1=\text{arc tg} \dfrac{\lambda_1}{\sigma}. \tag{1} \] Damit diese Gleichung für \(n \geqq 2\) sinnvolle Werte ergibt, muß \(\alpha>0\) sein, so daß die a priori Verteilung von \(\zeta\) nicht als Gleichverteilung angenommen werden darf. (Der Schluß des Verf., es müßte mindestens \(\alpha = 2\) sein, damit (1) auch für \(n = 1\) gelte, ist nicht stichhaltig, da bei der Herleitung von (1) \(\sigma^2>0\), also \(n > 1\) vorausgesetzt werden muß.) Analog wird der Fall der vermittelnden Beobachtungen behandelt. \(M_1, \ldots \!,M_n\) seien die beobachteten Werte der Größen \[ Y_i=\sum_{\nu=1}^{m} a_{i\nu} x_{\nu} \qquad \qquad (i=1, \ldots \!,n), \tag{2} \] wo die \(a_{i\nu}\) gegeben, die \(x_{\nu}\) unbekannt seien. Die \(M_i\) seien um ihre Mittelwerte \(Y_i\) normal mit einer und derselben Streuung \(\zeta^2\) verteilt. Die a priori Wahrscheinlichkeitsdichte von \(\zeta\) nimmt Verf. wieder proportional \(\zeta^{-\alpha}\) an und rechnet weiterhin so, als wäre die a priori Wahrscheinlichkeitsdichte der \(Y_i\) konstant im ganzen \(n\)-dimensionalen Raum, was aber mit (2) unvereinbar ist; demgemäß sind die auf dieser Annahme beruhenden Ergebnisse fehlerhaft (insbesondere Gleichung (18) und die letzten anderthalb Seiten der Arbeit). Nimmt man stattdessen an, daß die a priori Wahrscheinlichkeitsdichte der \(Y_i\) auf der \(m\)-dimensionalen Hyperebene (2) konstant, sonst Null ist, so ergibt sich als Wahrscheinlichkeit \(P(\lambda^2)\) der Ungleichung \(\sum (M_i-Y_i)^2<\lambda^2\) \[ P(\lambda^2)=\frac{\int\limits_{0}^{\varphi_1} \sin^{m-1} \varphi \,\cos^{n+\alpha-m-2} \varphi d \varphi} {\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{m-1} \varphi \,\cos^{n+\alpha-m-2} \varphi d \varphi}, \;\; \varphi_1=\text{arc tg}\, \sqrt{\left( \frac{\lambda}{\omega} \right)^2-1}, \tag{3} \] wo \(\omega^2\) das Minimum von \(\sum\limits_{i} (M_i-\sum\limits_{\nu} a_{i\nu} x_{\nu})^2\) bedeutet. Verf. erhält dagegen (S. 133) die unrichtige Formel \(P(\lambda^2)=1-\left( \dfrac{\omega}{\lambda} \right)^{\alpha-1}\), aus der er folgert, daß \(\alpha>1\) angenommen werden muß. Aus (3) läßt sich aber nur schließen, daß \(\alpha > 0\) sein muß, damit dieser Ausdruck im extremen Fall \(n = m + 1\) sinnvoll bleibt. -Aus der obenerwähnten Tatsache, daß der wahrscheinlichste Wert von \(\zeta^2\) sich zu \(\dfrac{n \sigma^2}{n+\alpha-1}\) ergibt, zieht Verf. die Folgerung, daß \(\dfrac{n}{n-1} \sigma^2\) einen zu kleinen Näherungswert für \(\zeta^2\) liefert.