La notion d'orientation dans les différentes géométries. (Q2582843)

Eine Familie von Figuren soll einen \textit{Körper} bilden, wenn 1) jede Bewegung eine Figur der Familie in eine andere Figur der Familie überführt, 2) immer mindestens eine Bewegung existiert, die eine beliebige Figur der Familie in jede andere Figur der Familie überführt. Verf. untersucht die Orientierung der Figuren eines Körpers. Er nennt die Figuren eines Körpers \textit{geometrisch orientierbar}, wenn man jeder Figur \(F\) des Körpers zwei oder mehrere verschiedene Figuren entsprechen lassen kann, so daß diese neuen Figuren einen Körper bilden. Notwendig und hinreichend dafür, daß die Figuren eines Körpers geometrisch orientierbar sind, ist das Zerfallen der Stabilitätsgruppe einer Figur des Körpers (d. h. der Gruppe der Bewegungen, die diese Figur festlassen) in mehrere zusammenhängende Familien von Bewegungen. Der Körper der nicht isotropen Geraden ist geometrisch orientierbar in der elementaren komplexen Geometrie; die isotropen Geraden sind nicht orientierbar. Der Punkt, die Gerade usw. sind in der komplexen projektiven Geometrie nicht geometrisch orientierbar, wohl aber in der reellen projektiven Geometrie eines Raumes gerader Dimension. Im projektiven reellen \(R_{2n+1}\) sind die Geraden und die Hyperebenen ungerader Dimension geometrisch orientierbar, nicht aber der Punkt, die Ebene usw. Im projektiven komplexen \(R_{2n}\) ist die Quadrik nicht geometrisch orientierbar, dagegen ist sie es im \(R_{2n+1}\) durch zwei Orientierungen; die aus diesen Orientierungen entspringenden Figuren sind die Halbquadriken, von denen jede als Ort einer der erzeugenden Familien von Mannigfaltigkeiten betrachtet wird. Es folgen Sätze über die Orientierung der Quadriken in der reellen projektiven Geometrie; im \(R_3\) ist die Strahlenquadrik mit vier Orientierungen zu versehen, während sie im anderen Fall nicht orientierbar ist. Schließlich wird die Orientierung des anallagmatischen Raumes und die geometrische Orientierung in der Differentialgeometrie behandelt.