Due notevoli teoremi geometrici. (Q2582881)

Die beiden Sätze sind: I. Ist \(t\) die Tangente eines Kreises in einem seiner Punkte \(P\), und sind \(x\), \(\xi\) die Entfernungen eines Punktes \(X\) des Kreises von \(P\) und von \(t\), so ist \(x : \sqrt{\xi} =\) const. II. Sind \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\) die Seiten eines Dreiecks und \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) die Abstände seiner Ecken \(A\), \(B\), \(C\) von einer beliebigen Tangente des Umkreises, so ist \(a\sqrt{\xi}+b\sqrt{\eta}-c\sqrt{\zeta} = 0\). Bemerkungen des Ref.: 1) Die Konstante in dem ersten, leicht mittels des pythagoreischen Lehrsatzes beweisbaren Satze ist \(\sqrt{2r}\) (\(r\) Umkreishalbmesser). 2) In Satz II fehlt die notwendige Voraussetzung: Der Berührungspunkt der Tangente \(t\) muß auf dem \(C\) nicht enthaltenden Bogen \(AB\) des Umkreises liegen; liegt er auf einem der beiden anderen Bogen \(BC\) oder \(AC\), so erhält statt des dritten das erste oder das zweite Glied der Gleichung das negative Vorzeichen. 3) Der zweite Satz folgt aus dem ersten und dem Satz von Ptolemaios für das Kreissehnenviereck. Die vom Verf. für den Beweis als nötig angegebenen Hilfssätze sind zu diesem Zweck überflüssig.