Sopra un problema di geometria piana. (Q2582888)

Es handelt sich um die Aufgabe, einem Kreis mit dem gegebenen Halbmesser \(r\) ein gleichschenkliges Dreieck mit dem gegebenen Umfang \(2\, p\) einzubeschreiben. Sind \(y\) der Schenkel und \(x\) die halbe Grundseite des gesuchten Dreiecks, so muß sein (1) \(y+x=p\), (2) \(y^4=r^2(y^2-x^2)\). Daraus ergibt sich für \(y\) die Gleichung \(y^4=8r^2py-4r^2 p^2\). Verf. untersucht die Wurzeln dieser Gleichung als Funktionen des Parameters \(p\). Für \(0 \leqq p \leqq \dfrac{3 \sqrt{3}r}{2}\) hat die Gleichung zwei reelle und zwei komplexe Wurzeln. Die Gleichung (2) stellt eine Kurve dar, die zuerst von Gregorius von St. Vinzenz im Jahre 1647 untersucht worden ist, die aber auch unter dem Namen Lemniskate von Gerono bekannt geworden ist. Verf. fügt den sechs bekannten Konstruktionen dieser Kurve eine siebente besonders einfache hinzu. Außerdem gibt er eine ihm von Gemberini mitgeteilte Lösung der ursprünglichen Aufgabe mit Hilfe einer Parabel an.