Kreis und Astroide. (Q2582964)

Verf. beweist im wesentlichen folgende Sätze: I. Ist \(P\) ein veränderlicher Punkt eines gegebenen Kreises und \(k\) eine gegebene Richtung, so umhüllt die gerade Linie \(p\), die durch \(P\) symmetrisch zu der Tangente in \(P\) bezüglich \(k\) gezogen wird, eine Astroide. II. Eine gleichseitige Hyperbel durch den Mittelpunkt des Kreises schneidet den Kreis in vier Punkten, derart, daß die vier geraden Linien, die durch diese Punkte symmetrisch zu den Tangenten bezüglich einer Achsenrichtung der Hyperbel gezogen werden, durch einen Punkt der Hyperbel gehen. III. Der Punkt \(A\), in dem die gerade Linie \(p\) des ersten Satzes die Astroide berührt, ist Mittelpunkt einer gleichseitigen Hyperbel, deren eine Asymptote der Richtung \(k\) parallel ist, und die den Kreis in \(P\) dreipunktig berührt. Ist \(P\equiv (a \cos\vartheta, a \sin \vartheta)\), so ist \(PA = a \cos 2\vartheta\).