Sur les mouvements d'un espace à quatre dimensions. I. (Q2583843)

Als Vorbereitung einer Untersuchung über die Bewegungen eines vierdimensionalen Raumes werden hier diejenigen Homographien \(H\) eines dreidimensionalen Raumes betrachtet, die mit einer gegebenen elliptischen biaxialen Homographie \(\varOmega_0\) vertauschbar sind. Sie bilden eine Gruppe \(G\). Die Homographie \(H\) kann zunächst eine biaxiale harmonische hyperbolische Homographie sein, deren Achsen \(a_1\), \(a_2\) in \(\varOmega_0\) sich entsprechen; \(H\) wird dann eine Homographie ``1. Art'' genannt. Alle anderen mit \(\varOmega_0\) vertauschbaren Homographien können als Produkte von Homographien 1. Art konstruiert werden. Dieser Satz wird rein synthetisch bewiesen, indem folgende mögliche Arten von \(H\) der Reihe nach betrachtet werden: \(H\) ist biaxial hyperbolisch und ihre Achsen sind Doppelgeraden von \(\varOmega_0\) (Homographien ''2. Art''); \(H\) ist biaxial parabolisch; \(H\) ist einfach axial; \(H\) besitzt eine endliche Anzahl von Doppelpunkten (entweder vier oder zwei); \(H\) hat nur zwei reelle Doppelgeraden ohne reelle Doppelpunkte; \(H\) hat eine einzige reelle Doppelgerade ohne reelle Doppelpunkte; \(H\) ist biaxial elliptisch. Die Homographien 1. Art erscheinen so als die erzeugenden Transformationen der Gruppe \(G\).