Idealtheoretischer Aufbau der algebraischen Geometrie. I. (Q2583845)

Ziel ist die Theorie der Punktgruppen auf einer algebraischen Kurve, der Scharen und Vollscharen und der Riemann-Rochsche Satz, sowie, soweit möglich, Verallgemeinerungen ins Mehrdimensionale. Verf. baut diese ganze Theorie rein idealtheoretisch ohne Voraussetzung besonderer Vorkenntnisse auf. Er zeigt die grundlegende Bedeutung der ganz-abgeschlossenen Ringe (d. h. Ringe, die alle algebraischganzen Größen ihres Quotientenkörpers enthalten). Die rein geometrische Theorie hat diesen oder den entsprechenden Begriff nicht oder nicht in dieser Ungezwungenheit herausstellen können. (Das ``normale'' Bild, bei dem die Hyperebenen die kanonische Schar aufschneiden, kommt in die Nähe.) -- In \S\, 2 und \S\, 3 behandelt Verf. die Produktzerlegung der Ideale, etwa im Sinne von \textit{v. d. Waerden} (Math. Ann., Berlin, 101 (1929), 293-308; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 680), sowie den Zusammenhang eines Rings \(\mathfrak o\) mit dem zugehörigen ganz-abgeschlossenen \(\mathfrak o^*\). Der Führer von \(\mathfrak o\) in \(\mathfrak o^*\) im Sinne Dedekinds, (das umfassendste Ideal von \(\mathfrak o^*\), das gleichzeitig Ideal in \(\mathfrak o\) ist), besteht aus den adjungierten Formen. Verf. berechnet die Hilbertfunktion der Ideale von \(\mathfrak o^*\) aus der von \(\mathfrak o\). In \S\, 4 werden äquivalente Ideale betrachtet. Zwei Ideale \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) heißen äquivalent, wenn es solche Formen \(\varPhi\) und \(\varPsi\) gibt, daß \(\varPhi \mathfrak a = \varPsi \mathfrak b\) gilt. Zu äquivalenten Idealen können feste oder auch äquivalente Bestandteile nach Belieben hinzugefügt werden, weggelassen nur in ganz-abgeschlossenen Ringen (weil man sonst beim Ausschneiden der Schar den Bereich der adjungierten Formen verlassen müßte). Eine Linearform von Idealen \(\lambda_1 \mathfrak a_1 + \cdots + \lambda_n \mathfrak a_n\) sei definiert als Gesamtheit der Elemente \(\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_n a_n\) mit \(a_i \in \mathfrak a_i\). Sind alle \(\mathfrak a_i\) einander äquivalent, so ist ihnen auch jede Linearform äquivalent und stellt eine Schar dar. Verf. untersucht die Beziehungen zwischen Idealscharen und Formenscharen. Man erhält eine Formenschar \(\sum \lambda_i \varPhi_i\) der geometrischen Theorie einfach, indem man in den Idealen \(\mathfrak a_i\) beliebige zueinander äquivalente Formen \(\varPhi_i\) auswählt. Umgekehrt erhält man die Idealschar aus der Formenschar durch \(\mathfrak a_i = (\varPhi_i): (\varPhi_0, \varPhi_1, \dots, \varPhi_n)\) und zwar ist dies die Schar ohne feste Bestandteile, und die \(\mathfrak a_i\) sind ungemischt. Hier zeigt sich noch einmal der Vorteil der idealtheoretischen Darstellung: Es ist von vornherein in der Schreibweise enthalten, welche festen Bestandteile mitgerechnet werden. -- In \S\, 5 werden nun die bekannten Sätze der algebraischen Geometrie, hauptsächlich der auf der Kurve, entwickelt. -- Verf. kündigt für einen II. Band die Untersuchung der Singularitäten und der Rolle des adjungierten Ideals an. Mir scheint der Hauptteil des vorliegenden Bandes, vor allem die Theorie der ganz-abgeschlossenen Ringe, auf diesen II. Band hin angelegt zu sein, und dort wird die Methode ihre eigentliche Überlegenheit zeigen.