Geometrische Behandlung der isogonalen Verwandtschaft. I, II. (Q2583874)

Schneiden sich drei Eckenlinien eines Dreiecks \(ABC\) in einem Punkt \(P\), so gehen die isogonalen Eckenlinien durch einen Punkt \(P^\prime\). \(P\) und \(P^\prime\) heißen isogonal verwandt. Durchläuft \(P\) eine Kurve (die Grundkurve), so beschreibt \(P^\prime\) die isogonalverwandte Kurve. Einer Grundkurve \(n\)-ter Ordnung entspricht eine isogonalverwandte Kurve 2 \(n\)-ter Ordnung, für die (entsprechend den \(n\) Schnittpunkten der Grundkurve mit je einer Seite des Grunddreiecks) jede Ecke des Grunddreiecks ein \(n\)-facher Punkt ist. Im ersten Teil der Arbeit betrachtet Verf. die Kegelschnitte als isogonalverwandte Kurven von geraden Linien, sodann als isogonalverwandte Kurven von Kegelschnitten durch zwei Ecken des Grunddreiecks. Diese Untersuchungen führen zu Konstruktionen der Asymptoten, Achsen und Brennpunkte von Kegelschnitten, deren Grundgerade gegeben ist, und der Achsen und Brennpunkte von Kegelschnitten, die durch fünf Punkte gegeben sind. Im zweiten Teil beweist Verf., daß alle Kegelschnitte eines der sechs Büschel, deren Grundpunkte zwei Ecken des Grunddreiecks, z. B. \(B\), \(C\), und zwei Berührungskreismittel\-punkte \(I\), \(I_a\) oder \(I_b\), \(I_c\) sind, deren Verbindungslinie durch die dritte Ecke geht, zu sich selbst isogonalverwandt sind. Er läßt sodann zwei Seiten \(AB\) und \(AC\) des Grunddreiecks zusammenfallen und gelangt dadurch zu Konstruktionen des Krümmungskreises eines Kegelschnitts in einem gegebenen Punkt. Schließlich untersucht er die isogonalverwandte Kurve einer Grundkurve, wenn alle drei Seiten des Grunddreiecks zusammenfallen, und gelangt auch dadurch wieder zu einigen Konstruktionen.