Sulla classificazione delle rigate algebriche. (Q2583894)

Vom projektiven Standpunkte aus sind die algebraischen Regelflächen von \textit{C. Segre} schon in den Jahren 1887-89 studiert worden; hier werden diese Flächen vom Standpunkt der birationalen Transformationen aus betrachtet. \textit{Als abstrakte Regelfläche} wird eine algebraische Fläche \(F\) bezeichnet, die einen Büschel \(\sum\) rationaler Kurven \(R\) enthält; die Kurven \(R\) sind die \textit{Erzeugenden} von \(F\); sind sie Geraden, so heißt \(F\) eine \textit{projektive Regelfläche. Leitkurven} von \(\sum\) sind die Kurven, die die Kurven von \(\sum\) je einmal treffen. Es sei \(p > 0\) das Geschlecht des Büschels \(\sum\). Man darf annehmen, daß \(F\) keinen mehrfachen Punkt und keine ausgezeichnete Kurve 1. Art enthält; eine solche könnte nur ein Teil einer Erzeugenden sein; alle Erzeugenden \(R\) sind also irreduzibel. Verf. betrachtet zunächst das System aller Leitkurven von \textit{F. Man } weiß, daß die Basis aller Kurven von \(F\) aus einer irreduziblen Leitkurve \(A\) und aus einer Erzeugenden \(R\) besteht; ist dann \(C\) eine beliebige Leitkurve, so findet man, daß \(C\) einer Kurve \(A+ \lambda R\) (\(\lambda\) ganze Zahl) algebraisch äquivalent ist; es liegt hier der Anfangspunkt der ganzen Untersuchung. Daraus und aus der Beziehung \(K\equiv ( \nu + 2p-2) R - 2 A\), wobei \(\nu = (A, A)\) ist, die \(A\) und \(R\) mit dem virtuellen kanonischen System \(| K |\) verbindet, schließt man eine Reihe zahlreicher Eigenschaften der Leitkurven: Jede (virtuelle oder effektive) Leitkurve \(C\) ist nicht speziell; \(C\) ist effektiv, sobald ihr Grad \(n > 2 p - 2\) ist; es gibt immer irreduzible Leitkurven, welche unendlichen Linearsystemen angehören, und deren Grad und Dimension beliebig hoch sind; alle irreduziblen Leitkurven eines gegebenen Grades \(n > 2 p - 2\) bilden ein einziges vollständiges irreduzibles System usw. Wichtig ist die Frage der Minimalleitkurven, d. h. der Leitkurven \(C\), deren Grad \(n\) den kleinsten Wert annimmt; die Existenz eines solchen kleinsten Wertes ist leicht zu bestätigen; eine Leitkurve kleinsten Grades besitzt die charakteristische Eigenschaft, jede andere Leitkurve in der kleinstmöglichen Anzahl von Punkten zu schneiden. Man findet auch immer auf \(F\) effektive Leitkurven mit dem Grade \(p - 1\) oder \(p\); die Bestimmung aber des kleinsten Wertes von \(n = (C, C)\) bleibt noch unentschieden. Eine andere wichtige Frage ist diejenige der Klassifikation der Regelflächen. Um sie richtig zu stellen, muß man zwischen birational äquivalenten Regelflächen und Regelflächen derselben Art unterscheiden; zwei Regelflächen gehören derselben Art an, wenn sie birational und \textit{ausnahmslos} äquivalent sind. Besonders zu betrachten sind die \textit{abstrakten Kegel}; sie besitzen ein einfaches irreduzibles und wenigstens \(\infty^2\)-Linearsystem \(| C |\) von Leitkurven, welches eine Fundamentalkurve \(\gamma\) enthält; diese Eigenschaft ist charakteristisch, so wie auch die andere, daß die charakteristische Linearschar von \(| C |\) vollständig ist. Man kann nun die Klassifikation der projektiven Regelflächen \(\varPhi\) einer gegebenen Ordnung \(n\) und eines gegebenen Geschlechts \(p\) in einem Raume \(S_d\) vornehmen; diese Klassifikation ist der Hauptzweck der vorliegenden Abhandlung. Die Kegel werden hier selbstverständlich ausgeschlossen. Die Frage der Existenz einer effektiven und mit nur gewöhnlichen Singularitäten versehenen Regelfläche, die derselben Art angehört wie eine gegebene abstrakte Regelfläche, wird hier nur gestreift und bleibt offen. Andererseits findet man, daß unter der Bedingung \(n > 2p + 6\) (und \(p > 0\)) projektive reguläre Regelflächen \(\varPhi\) immer vorhanden sind, die singularitätenfrei sind oder nur uneigentliche Singularitäten aufweisen, und die beliebig gegebenen Werten von \(n\), \(p\) und der Moduln von \(\sum\) entsprechen. Sowohl in ihrem Normalraum \(S_r\), wo \(r = n - 2 p + 1\), als auch in einem kleineren Raume \(S_d\), wo \(3 \leqq d < r\), bilden solche Regelflächen, die alle derselben Art angehören, eine einzige irreduzible Mannigfaltigkeit \(W\). Der Beweis beruht auf der Betrachtung einer der Fläche \(\varPhi\) entsprechenden abstrakten Regelfläche \(F\) und besteht in der Aufzählung der Linearsysteme, die auf \(F\) dem System der hyperebenen Schnittkurven von \(\varPhi\) entsprechen können. Dieses Verfahren gestattet auch, die Dimension von \(W\) zu berechnen; ist \(p > 1\), so beträgt sie im allgemeinen \((d +1)n - 2 (d -1)(p-1)\) mit \(3 \leqq d \leqq n - 2p + 1\); sie ist nur dann kleiner, wenn alle Erzeugenden von \(\varPhi\) zwei windschiefe duale Räume treffen, so daß sie von unendlich vielen Homographien in sich abgebildet werden. Die Dimension einer vollständigen irreduziblen Familie von nicht regulären Regelflächen des Raumes \(S_d\) ist gewöhnlich größer als \((d+1)n -2(d -1)(p -1)\). Es folgen schließlich einige Bemerkungen über die Bedingungen dafür, daß zwei abstrakte Regelflächen derselben Art angehören.