Sul modello minimo della varietà degli elementi differenziali del \(2^0\) ordine del piano proiettivo. (Q2583925)

Die Mannigfaltigkeit \(V\) der Elemente 1. Ordnung \(E_1\) einer Ebene ist von. \textit{F. Severi} vom Standpunkt der birationalen Transformationen aus vor kurzem untersucht worden (Ann. Mat. pura appl., Bologna, (4) 19 (1940), 153-242, \S\,60 u. 61; F. d. M. 66). Verf. untersucht hier ähnlich die Mannigfaltigkeit der Elemente 2. Ordnung einer Ebene. Als Element 2. Ordnung \(E_2\) ist, \textit{F. Engel} folgend, das Paar von zwei unendlich nahen Elementen 1. Ordnung zu verstehen, die vereinigt liegen. Solche Elemente bilden eine Mannigfaltigkeit \(W\) mit vier Dimensionen. Besonders bemerkenswert sind folgende auf \(W\) hegenden \(V_3\): die Mannigfaltigkeiten \(C\), \(F\) der Spitzen-\(E_2\) und der Wende-\(E_2\) (sie sind die einzigen isolierten \(V_3\) auf \(W\)); die Mannigfaltigkeiten \(P\), \(R\) der \(E_2\), deren Geraden durch eine gegebenen Punkt hindurchgehen, oder bzw. deren Punkte einer gegebenen Gerade angehören. Die wichtigsten Kurven von \(W\) sind: die \(\infty^3\) Kurven \(t\), die den \(E_2\) entsprechen, die einen gegebenen \(E_1\) enthalten; die \(\infty^2\) Kurven \(p^*\), \(r^*\), die die Spitzen-\(E_2\) darstellen die einen gegebenen Punkt oder eine gegebene Tangente besitzen; die \(\infty^2\) Kurven \(\bar{p}\), \(\bar{r}\), die die Wende-\(E_2\) darstellen, die ebenfalls einen gegebenen Punkt oder eine gegebene Tangente besitzen. Es wird zunächst bewiesen, daß \(C\), \(P\), \(R\) (oder \(F\), \(P\), \(R\)) eine Basis der auf \(W\) liegenden \(V_3\) bilden; die duale Basis für die Kurven von \(W\) ist \(t\), \(\bar{p}\), \(\bar r\) (oder \(t\), \(p^*\), \(r^*\)). Das einfache und basispunktfreie Linearsystem \(| C + 4 P + R |\) liefert dann das normale singularitätenfreie Modell von \(W\) niedrigster Ordnung; es hat die Ordnung 330 und gehört einem Raume \(S_{69}\) an. Die sehr großen Werte dieser Zahlen erklären, warum es so kompliziert ist, ein singularitätenfreies Koordinatensystem für die \(E_2\) der projektiven Ebene zu finden. Die Konstruktion dieses Modeils gelingt durch die \(E_2\)-Koordinaten von \textit{E. Study} (Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, math.-phys. Kl. 53 (1901), 338-403; F. d. M. 32, 533 (JFM 32.0533.*)) und \textit{F. Engel} (ebenda 54 (1902), 17-51; F. d. M. 33, 299 (JFM 33.0299.*)). Es wird schließlich die Form einer algebraischen Differentialgleichung 2. Ordnung angegeben, die einer \(V_3\) des Systems \(| C + 4 P + R|\) entspricht; sie lautet: \[ y^{\prime\prime} = \frac {A(xy^\prime -y, y^\prime ) + xB(xy^\prime -y, y^\prime ) + yC( xy^\prime -y, y^\prime )} {L(x,y) + y^\prime M(x,y) + (xy^\prime - y)N(x,y)}; \] wo \(A\), \(B\), \(C\), \(L\), \(M\), \(N\) Polynome 4. Grades sind. Das gefundene Modell von \(W\) kann also auch als Bild solcher Differentialgleichungen betrachtet werden.