A flat Klein bottle isometrically embedded in euclidean 4-space. (Q2584079)

Der Satz von Schläfli, bewiesen von Cartan, besagt, daß jeder \(n\)-dimensionale Raum mit einer Riemannschen Geometrie im Kleinen in einen \(N\)-dimensionalen euklidischen Raum eingebettet werden kann, wenn \(N\geqq \dfrac {n(n+1)}2\) ist. Über die Einbettung im Großen ist auch für größere Werte von \(N\) nichts Abschließendes bekannt. Als mögliches Gegenbeispiel käme die einseitige Fläche in Frage, die F. Klein konstruierte, indem er die gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks einmal richtig und einmal verkehrt identifizierte. Topologisch entsteht eine flaschenähnliche Fläche, die eine euklidische Metrik trägt. Verf. beweist nun, daß es möglich ist, diese Fläche in einen ebenen vierdimensionalen Raum einzubetten. In orthogonalen kartesischen Koordinaten lauten die Parametergleichungen \[ x_1 = \cos\, v \cos \, u, \quad x_2 = \cos\, v \sin\;u, \quad x_3 = 2 \sin\, v \cos\, \frac u2, \quad x_4 = 2 \sin\, v \sin \frac u2 . \]