On Finsler and Cartan geometries. III. Two-dimensional Finsler spaces with rectilinear extremals. (Q2584085)

Die Arbeit ist hauptsächlich dem von \textit{Funk} gestellten Problem gewidmet, die zweidimensionalen Finslerschen Räume mit geradlinigen Extremalen \((GE)\) in invarianter Weise zu charakterisieren. Im ersten Abschnitt, der als Einleitung angesehen werden kann, wird die Theorie der zweidimensionalen Finslerschen Räume entwickelt, und zwar unabhängig von der allgemeinen Cartanschen Äquivalenztheorie. Hier finden wir auch den Zusammenhang zwischen dem Tensor \(G^k_{ijr}\) und dem vom Verf. entdeckten Hauptskalar \(I\). Mit Hilfe von \(I\) werden auch die sogenannten affin zusammenhängenden Finslerschen Räume charakterisiert. Auch eine invariante Charakterisierung der zweidimensionalen Minkowskischen Räume wird hergeleitet. Der Abschnitt II ist dem Hauptproblem der Arbeit gewidmet, wobei zwei Lösungen angegeben werden: die erste, rein analytische, auf die Diskussion der Integrationsbedingungen eines Systems von partiellen Differentialgleichungen gestützt, die zweite dagegen, eine allgemeinere (von der Douglasschen Geometrie ausgehend), besitzt geometrischen Charakter. Im Abschnitt III werden alle zweidimensionalen Finslerschen Räume mit \((GE)\) bestimmt, in welchen I nur Funktion der Lage (und nicht der Richtung) ist. Zunächst werden alle Räume mit \( I = \) Const. gefunden. Ist für einen Raum mit \((GE)\) \(I\) unabhängig von der Richtung in jedem Punkte und \(I^2 \not = \frac g2\), so hat der Raum eine konstante Krümmung \(K\). Ist dazu noch \(I \not = 0\), so ist \(K = 0\), und der Raum ist Minkowskisch. Im Gesamten ergeben sich sechs Typen der Räume \((GE)\), für welche \(I\) von der Richtung unabhängig ist. Fünf von diesen hängen von konstanten Parametern ab, der sechste von einer beliebigen Funktion einer Veränderlichen. Am Schluß werden alle Typen der Landsbergschen Räume aufgezählt, die gleichzeitig \((GE)\) sind. (Teil II, Compositio math., Groningen, 7 (1939), 141-176; F. d. M. 66, 804 (JFM 66.0804.*)).