Über die Singularitäten reeller Bogen im \(R_n\). (Q2584120)

In der Einleitung sind die Definitionen der wichtigsten später betrachteten Gebilde und gebrauchten Begriffe zusammengestellt. Betrachtet werden dann Summen \(\mathfrak S\) zweier Bogen endlicher (linearer) Ordnung im \(R_n\); der Punkt, in dem die beiden Bogen zusammenstoßen, heißt singulär. Die endliche Ordnung bedingt die Existenz aller Tangentialschmieghalbebenen in jedem Bogenpunkt. Weitere Differenzierbarkeitsvoraussetzungen werden nicht gemacht. - Für die Bogensumme \(\mathfrak S\) werden nun projektiv invariante Zusammensetzungstypen aufgestellt auf Grund der gegenseitigen Lage der links- und rechtsseitigen Tangentialschmieghalbebenen im singulären Punkt. Für diese Lage sind zunächst maßgebend die Dimensionen der Durchschnitte der links- und rechtsseitigen Tangentialschmiegebenen, die sich in einer Matrix anordnen lassen, welche ihrerseits einer Permutation der Zahlen 1 bis \(n\) umkehrbar eindeutig entspricht. Darüber hinaus läßt sich durch die gleiche, aber nun in jedem Glied passend mit einem Vorzeichen versehene Permutation, eine sogenannte signierte Permutation, die gegenseitige Lage der Tangentialschmieghalbebenen eindeutig festlegen. Die \(2^n\cdot n!\) verschiedenen signierten Permutationen der Zahlen 1 bis \(n\) bestimmen ebensoviele verschiedene Zusammensetzungstypen. Der Zusammensetzungstypus läßt sich auch in der Parameterdarstellung der Bogensumme zum Ausdruck bringen. Zu diesem Zweck wird zur betrachteten Bogensumme \(\mathfrak S\) ein sogenanntes vermittelndes Schmiegkoordinatensystem mit dem singulären Punkt als Anfangspunkt bestimmt; dieses ist so beschaffen, daß durch seine Achsen bzw. Halbachsen sowohl die linksseitigen wie die rechtsseitigen Tangentialschmieghalbebenen des singulären Punktes aufgespannt werden. Bei Zugrundelegung eines vermittelnden Schmiegkoordinatensystems gelangt man vom einen der beiden Bogen, deren Summe \(\mathfrak S\) ist, zum anderen einfach dadurch, daß man seine Koordinaten \(x_\nu (t)\) der zugehörigen signierten Permutation unterwirft. Auf Grund dieser Beziehung läßt sich dann eine untere Schranke bestimmen für die Maximalzahl der Punkte, welche \(\mathfrak S\) in der Umgebung des singulären Punktes mit den Hyperebenen gemeinsam hat; mit anderen Worten: Es läßt sich zu jedem Zusammensetzungstypus eine Mindestordnung bestimmen, die nur von diesem Typus abhängt, nicht von der Art der Bogen. Tatsächlich durchgeführt wird die Bestimmung dieser Mindestordnung 1) für die \(2^n\) Typen des ``allgemeinen'' Punktes (alle links- und rechtsseitigen Tangentialschmiegebenen des singulären Punktes haben hier Durchschnitte von der niedrigstmöglichen Dimension), wobei sich in \((2^n - 1) \) Fällen die Mindestordnung \((n + 1)\) und in einem Fall die Mindestordnung \(n\) ergibt, 2) für die \(2^n\) Typen des ``speziellen'' oder ``differenzierbaren'' Punktes (die links- und rechtsseitigen Tangentialschmiegebenen sind hier identisch), wobei sich die Mindestordnung \((2n - \omega\)) ergibt, wo \(\omega\) die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der durch das Anfangsglied \(+ 1\) erweiterten zugehörigen signierten Permutation bedeutet. In einer folgenden Mitteilung soll die Besprechung von Bogensummen gegeben werden, in denen die nur vom Zusammensetzungstypus abhängige Mindestordnung des singulären Punktes gleich der tatsächlichen Ordnung ist.