Questioni sui corpi convessi. (Q2584133)

Eine Plauderei über Eikörper, die sich vor allem auf die Leistungen bezieht von Archimedes, J. Steiner und H. Brunn. Von Archimedes stammt der Begriff konvex sowie das Prinzip des bestimmten Integrales; führt man mit Crofton Geradenund Ebenendichte ein, so ergeben sich aus der begrifflich selbstverständlichen Monotonie des Integrales einer Dichte auch die Monotonie des Umfanges beim ``Aufblasen'' einer ebenen Eilinie und der Oberfläche sowie des Integrales der mittleren Krümmung beim räumlichen Eibereich. Dann wird Steiners Formel für die Parallelkörper eines Eibereiches angegeben und sein Symmetrisierungsverfahren erörtert. Das entsprechende Verfahren im Raum und im \(R_n\) ist von Brunn untersucht worden; ein Drehkörper, der mit einem Eibereich gleiche Querschnittflächen senkrecht zur Drehachse hat, ist (I) wieder konvex, hat (II) das gleiche Volumen und (III) nicht größere Oberfläche. Hieraus ergibt sich in verschiedenster Weise die Lösung des isoperimetrischen Problems im Raum, so auch auf dem Wege über die Eigenschaft I für den \(R_4\), die dadurch zum Kernpunkt der ``Brunn-Minkowskischen Theorie'' geworden ist. Naturgemäß wird hier auch die Brunnsche Theorie der Linearscharen konvexer Körper erörtert. Es ist leicht, die Polyeder anzugeben, welche sich als Linearkombination von endlich vielen Strecken darstellen lassen; es sind diejenigen Mittelpunktspolyeder, bei denen auch jede Fazette einen Mittelpunkt hat. Welche Eikörper aber sich als Summe (d. h. Integral) eines Streckenkontinuums darstellen lassen, ist noch unbekannt. Über ihre Kennzeichnung formuliert Verf. eine Vermutung: ist \[ d\sigma^2 = Adu^2 + 2Bdudv + Cdv^2 \] die erste Grundform der affinen Flächentheorie für die Randfläche \(\mathfrak x (u, v)\) des Bereiches, so sollen für je zwei parallele Linienelemente auf der Fläche die Vektoren \(\dfrac {d\mathfrak x}{d\sigma}\) gleich sein.