Le problème des isopérimètres sur les surfaces ouvertes à courbure positive. (Q2584140)

Für jede einfache analytische geschlossene Kurve auf einer im Sinne von Cartan offenen vollständigen analytischen überall positiv gekrümmten zweidimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit wird die Ungleichung bewiesen: \[ L^2 \geqq 2\pi F \int \frac {ds}{\varrho_g}, \tag{1} \] wo \(L\) den Umfang, \(F\) den umschlossenen Flächeninhalt, \(\dfrac {1}{\varrho_g}\) die geodätische Krümmung der Randkurve darstellen. -- Definiert man den Abstand eines Punktes von einer Kurve allgemein als Länge der kürzesten Verbindung, und nennt man Parallelkurve der vorgegebenen Kurve den Ort der Punkte im Außenbzw. Innengebiet, die zur Kurve festen Abstand haben, so besteht jede Parallelkurve aus endlich vielen analytischen Kurvenbögen, und die Schar der Parallelkurven, die ebenfalls nur endlich viele Kurven mit Spitzen oder Doppelpunkten aufweist, überdeckt den ganzen Raum. Durch Einführung eines mit dieser Schar und den zugehörigen geodätischen Normalen verknüpften Koordinatensystems lassen sich für Oberfläche und Umfang der Scharkurven Integraldarstellungen bzw. Ungleichungen herleiten, aus denen (1) leicht hervorgeht. Das Gleichheitszeichen kommt in (1) nur vor, wenn die Fläche abwickelbar ist und die Kurve beim Abwickeln in einen Kreis übergeht. Nach Gauß-Bonnet folgt aus (1) auch \[ L^2 \geqq 2F(2\pi - C), \tag{2} \] wo \(C=\int K\, do\) die Gesamtkrümmung des Raumes darstellt (nach \textit{Cohn-Vossen}, Rec. math., Moscou, (2) l (1936), 139-163 (F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 862) ist \(C \leqq 2\pi\)). Die Konstante \(2\pi - C\) läßt sich nicht durch eine kleinere ersetzen, so daß (2) für alle Kurven richtig bleibt. Die Flächeninhalte aller Kurven mit vorgegebenem Umfang \(L\) sind nach oben beschränkt, wenn \(C < 2\pi\), im Falle \(C = 2\pi\) nur, wenn \(L\) unterhalb einer festen Schranke \(L^*\) liegt.