Über Richtungsfelder in den projektiven Räumen und einen Satz aus der reellen Algebra. (Q2584297)

Die vom Verf. in seiner Dissertation (Comment. math. Helvetici 8 (1936), 305-353; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 662) entwickelte Theorie der Richtungsfelder in \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten wird hier auf den reellen \(n\)-dimensionalen Raum \(P^n\) angewandt. Die dort definierte ``charakteristische Homologieklasse'' \(F^{m-1}\) mod 2 wird in diesem Fall bestimmt als die Nullklasse oder die Klasse einer Ebene \(P^{m-1}\), je nachdem der Binomialkoeffizient \( \binom {n+1}m\) gerade oder ungerade ist. Aus diesem Resultat folgen einerseits Sätze über Richtungsfelder im \(P^n\): Unter einem \(m\)-Feld wird ein System von \(m\) stetigen linear unabhängigen Richtungsfeldern verstanden. Wenn dann der Regularitätsbereich eines \(m\)-Feldes im \(P^n\) eine \(k\)-dimensionale Ebene \(P^k\) enthält, so sind alle Binomialkoeffizienten \( \binom {n+1}\mu\) mit \(n - k < \mu < m + 1\) gerade. Für \(k = n\) folgt, wenn \(n + 1 = 2^\lambda u\) gilt mit ungeradem \(u\), daß es kein im ganzen \(P^n\) reguläres \(m\)-Feld gibt. Allgemeiner: Ist \( \binom {n+1}m\) ungerade, und gibt es im \(P^n\) ein \(m\)-Feld mit einer Singularitätenmenge \(Q\), so enthält jede Umgebung von \(Q\) einen \((m - 1)\)-dimensionalen Zyklus modulo 2, der einer Ebene \(P^{m-1}\) homolog ist. -- Andrerseits ergeben sich auf diese Weise Sätze über reelle Matrizen und Bilinearformen, z.B.: Existiert eine \(s\)-gliedrige Schar von \(n\)-reihigen, \(r\)-spaltigen reellen Matrizen vom rang \(r\), so sind alle Binomialkoeffizienten \( \binom n\mu\) mit \(n - r<\mu < s\) gerade.