Ein topologischer Beitrag zur reellen Algebra. (Q2584298)

Die \(n\) Funktionen \[ f_\nu (x_\varrho; y_\sigma) = f_\nu (x_1, \dots, x_r; y_1, \dots, y_s) \quad (\nu = 1,\dots,n) \] seien im Bereich \(x_1^2 + \cdots + x_r^2 = 1\), \(y_1^2 + \cdots + y_s^2 = 1\) stetig, und es sei \[ f_\nu (-x_\varrho; y_\sigma) = f_\nu (x_\varrho; -y_\sigma) = - f_\nu (-x_\varrho; y_\sigma). \] Wenn dann die \(n\) Gleichungen \(f_\nu = 0\) in dem angegebenen Bereich keine Lösung haben, so sind die Binomialkoeffizienten \( \binom nk\), für \(n - r<k<s\) sämtlich gerade. Für diesen Satz, den \textit{F. Behrend} unter Beschränkung auf den Fall, daß die \(f_\nu\) homogene Polynome sind, auf algebraische Weise bewiesen hat [Compos. Math. 7, 1--19 (1939; JFM 65.0051.01)], gibt Verf. einen rein topologischen Beweis, und zwar durch Anwendung der Theorie des Umkehrungshomomorphismus der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten. Sodann werden mannigfache Folgerungen aus dem Satz gezogen, von denen die folgende als typisches Beispiel erwähnt sei: Eine \(n\)-reihige quadratische Matrix, deren Elemente stetige ungerade Funktionen von \(r\) Variablen \(x_1, \dots, x_r\) im Bereich \(x_1^2 + \cdots + x_r^2 = 1\) sind, kann höchstens dann durchweg nicht-singulär sein, wenn \(r\) nicht größer ist als die größte Potenz von 2, die in \(n\) aufgeht; im Fall \(r = n\) muß also \(n\) eine Potenz von 2 sein.