On the Lusternik-Schnirelmann category. (Q2584308)

Zunächst wird die Kategorie neu erklärt, indem offene statt der ursprünglich verwendeten abgeschlossenen Überdeckungen verwendet werden. Dadurch wird die Allgemeinheit zwar eingeschränkt, aber das Hauptsächliche erhalten und die Möglichkeit gegeben, die Kategorie mit der Dimension in Beziehung zu setzen. Eine Untermenge \(A\) einer (separabeln metrischen) Menge \(M\) heißt (nach dem Verf.) eine \textit{kategoriale Untermenge} von \(M\), wenn es eine in \(M\) offene Menge \(U \supset A\) gibt, die in \(M\) (im homotopischen Sinn) zusammenziehbar ist. Eine Überdeckung \(\sigma\) von \(X \subset M\) mit kategorialen Untermengen von \(M\) heißt eine \textit{kategoriale Überdeckung} von \(X\) in \(M\). Die Anzahl der Elemente von \(\sigma\) wird mit \(|\sigma |\), die Gesamtheit aller kategorialen Überdeckungen von \(X\) in \(M\) mit \(C_M (X)\) bezeichnet. Die \textit{Kategorie von} \(X\) \textit{in} \(M\), cat\({}_M X\), wird als die kleinste Kardinalzahl \(|\sigma |\) für \(\sigma \in C_M (X)\) erklärt. \ \(\sigma\) heißt \textit{minimal}, wenn \(|\sigma | = \) cat\({}_M X\) ist. cat \( M =\) cat\({}_M M\) heißt \textit{absolute Kategorie} von \(M\). \(C (M) = C_M(M)\) wird als nicht leer vorausgesetzt, was z. B. zutrifft, wenn \(M\) lokal zusammenziehbar (im homotopischen Sinn) ist. In derselben Weise werden mithilfe einer \(n\)-Homotopie, wo \(n\) die Dimension bedeutet, eine \(h_n\)-Deformation, \(h_n\)-Zusammenziehung und eine \(h_n\)-Kategorie \(h_n -\) cat\({}_M X\), \(n\)-\textit{dimensionale Kategorie}, entsprechend auch \textit{Homologiekategorien} und eine \textit{strenge Kategorie} erklärt. Zwischen diesen Begriffen untereinander und den wichtigeren topologischen Invarianten wird eine Fülle von Beziehungen aufgedeckt, von denen ein Teil schon für die Kategorie im alten Sinn bekannt war. Sie betreffen hauptsächlich die Homotopie- und Homologiegruppen, die Fundamentalgruppe, Produkträume, Überlagerungsräume, Schnittzykel, Mannigfaltigkeiten, Retrakte und die Dimension. Bezüglich des Näheren muß auf die Arbeit, die für sich lesbar ist und ein ausführliches Schriftenverzeichnis enthält, verwiesen werden.