Transformations of finite period. III. Newman's theorem. (Q2584314)

Es sei \(R\) ein zusammenhängender, im kleinen bikompakter, endlichdimensionaler Raum; es sei \(G\) eine offene Punktmenge, deren abgeschlossene Hülle bikompakt ist; eine Abbildung \(T\) von \(R\) auf sich selbst heißt periodisch von der Periode \( q\), wenn sie topologisch ist und ihre \(q\)-te Potenz die Identität ist: \(T^q = 1\). \textit{H. A. Newman } (Quart. J. Math. (Oxford Ser.) 2 (1931), 1-8; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 496) hatte folgenden Satz bewiesen: Wenn \(R\), \(G\) und \(q\) vorgegeben sind, dann kann man eine solche Überdeckung \(U\) von \(R\) aufbauen, daß es für keine Abbildung \(T\) der Periode \(q\) möglich ist, jedem Punkt \(x\) von \(G\) ein Element \(U_x\) aus \(U\) zuzuordnen mit \(x + Tx\subset U_x\). Dieser Satz wird vom Verf. in folgender Weise vervollständigt: \(R\) und \(G\) seien vorgegeben (\(q\) aber nicht!); dann kann man eine solche Überdeckung \(U\) von \(R\) aufbauen, daß es für keine periodische Abbildung \(T\) möglich ist, jedem Punkt \(x\) von \(G\) ein Element \(U_x\) von \(U\) zuzuordnen mit \(x+ Tx + T^2x + \cdots + T^{q-1}x \subset U_x\). \(R\) war von H. A. Newman lokal-euklidisch vorausgesetzt; Verf. ersetzt diese Bedingung durch Bedingungen topologischer Natur. Der ziemlich lange Beweis benützt die zwei ersten Teile dieser Arbeit (Ann. Math., Princeton, (2) 39 (1938), 127-164; (2) 40 (1939), 690-711; F. d. M. \(64_{\text{II}}\), 1275; 65, 1446) und die Čechsche Definition der Homologie. Zuerst wird aber der Fall der Sphäre sehr einfach behandelt: Ist \(R\) eine Sphäre, und ist \(T\) periodisch, dann ist es unmöglich, daß die Menge \(x + Tx + T^2 x +\cdots + T^{q-1} x\) für jeden Punkt \(x\) von \(R\) auf einer halben Sphäre liegt.