Ein Satz über die Wirkungsräume geschlossener Liescher Gruppen. (Q2584330)

Ein Wirkungsraum \(W\) (espace homogène in der Bezeichnung von \textit{É. Cartan}, vgl. Mém. Sci. math. 42 (1930); JFM 56.0370.*) ist eine Mannigfaltigkeit, die durch eine Liesche Gruppe \(G\) transitiv in sich transformiert wird. Z. B. sind die Gruppenräume Wirkungsräume; bei ihnen wirkt \(G\) einfach transitiv. Es werden nur geschlossene Gruppen \(G\) analytischer Abbildungen betrachtet. Für die Bettischen Zahlen \(p_r\) \((r = 1, 2,\ldots \)) solcher Wirkungsräume gelten nach Hurewicz und de Rham die Ungleichungen \(p_r \geqq\binom {p_1} r\) und \(p_r \leqq\binom n r\). Über diese Homologiebedingungen hinaus wird in der vorliegenden Arbeit gezeigt, daß die Eulersche Charakteristik \(\chi\) von \(W\) niemals negativ ist. Der Beweis zerfällt in zwei Teile. (1) Nach der Lefschetz-Hopfschen Fixpunktformel ergibt sich: Besitzt ein Element von \(G\) im Wirkungsraum \(W\) höchstens endlich viele Fixpunkte, so ist deren Anzahl gleich der Charakteristik \(\chi\). \ (2) Es gibt stets Elemente in \(G\), die nur endlich viele Fixpunkte in \(W\) besitzen, und zwar solche vom Index \((-1)^n\), wo \(n\) die Dimension von \(W\) ist. -- Die Fälle \(\chi >0\) und \(\chi =0\) erweisen sich als wesentlich verschieden. Ist \(\chi >0\), so besitzt eine Strömung auf \(W\), die durch eine Untergruppe von \(G\) erzeugt ist, stets einen permanenten, d. h. für alle Elemente der Untergruppe auftretenden Fixpunkt; ist \(\chi =0\), so gibt es Untergruppen von \(G\) derart, daß die durch sie bewirkten Strömungen auf \(W\) im kleinen fixpunktfrei sind.