Über die Beziehung zwischen den Maßen und den Topologien in einer Gruppe. (Q2584332)

Es werden im wesentlichen Sätze, die von \textit{A. Weil} (C. R. Acad. Sci., Paris, 202 (1936), 1147-1149; JFM 62.0440.*) ohne Beweis angegeben wurden, ausführlich dargestellt. Kap. II bringt die Existenz und Eindeutigkeit (bis auf einen konstanten Faktor) des Haarschen Maßes in im kleinen bikompakten Gruppen (im separablen Fall bekannt). Kap. III betrachtet Gruppen \(G\) mit Normalteiler \(N\), so daß \(G/N\) in einer im kleinen bikompakten Gruppe \(\mathfrak G\) enthalten ist und das innere Haarsche Maß von \(\mathfrak G-G/N\) Null ist. Überträgt man das Haarsche Maß von \(\mathfrak G\) auf \(G\), indem man jeder Menge \(A\in G\) als Maß das Maß ihrer Restklasse nach \(N\) in \(\mathfrak G\) zuordnet, so erhält man das durch \(\mathfrak G\) in \(G\) induzierte Maß. Es ist ein Weilsches Maß, d. h. es ist linksinvariant, \(m(aA) = m(A)\) für \(a\in G\), und falls \(f(x)\), \(x\in G\), meßbar ist, so ist auch \(f(y^{-1}\,x)\) als Funktion zweier Veränderlichen meßbar. Kap. IV betrachtet die im kleinen total beschränkten allgemein-topologischen Gruppen \(G\). Dies sind im kleinen total beschränkte Gruppen, in denen das Trennungsaxiom, daß der Durchschnitt eines Umgebungssystems der 1 immer gleich 1 ist, nicht mehr richtig zu sein braucht; dieser Durchschnitt kann ein Normalteiler \(N\) sein. Die übrigen Axiome für eine topologische Gruppe gelten. Jede im kleinen total beschränkte topologische Gruppe läßt sich zu einer im kleinen bikompakten Gruppe komplettieren, im allgemein\-topologischen Fall ist also eine Faktorgruppe \(G/N\) in eine im kleinen bikompakte Gruppe \(\mathfrak G\) einbettbar. Es wird nun in jeder solchen Gruppe \(G\) auch ein Haarsches Maß erklärt. Kap. V enthält den Beweis des Weilschen Hauptsatzes: Es sei \(G\) eine Gruppe und \(m\) ein in \(G\) erklärtes Weilsches Maß. Jedem \(m\) läßt sich eindeutig eine Topologie \(\mathfrak T\) in \(G\) zuordnen, bezüglich deren \(G\) eine im kleinen total beschränkte allgemein-topologische Gruppe wird mit \(m\) als zugehörigem Haarschen Maß, das durch \(\mathfrak T\) bis auf einen Faktor eindeutig bestimmt ist. Ist andererseits eine im kleinen total beschränkte Gruppe \(G\) gegeben mit der Topologie \(\mathfrak T\), so gehört dann und nur dann zu ihr ein Weilsches Maß \(m\), wenn 1) jede \(\mathfrak T\)-Borelsche Menge meßbar ist, 2) für eine hinreichend kleine \(\mathfrak T\)-Borelsche Umgebung \(\theta \) das Maß \(m(\theta ) < \infty \) wird, 3) zu jeder meßbaren Menge \(A\) und zu jedem \(\varepsilon > 0\) eine \(\mathfrak T\)-Borelsche Menge \(B\) existiert mit \[ m\,(A - B) + m\,(B - A)<\varepsilon. \] \(m\) ist das durch das Haarsche Maß der bezüglich \(\mathfrak T\) komplettierten Gruppe in \(G\) induzierte Maß. Das Maß von \(G\) ist dann und nur dann endlich, wenn \(G\) total beschränkt ist im Sinne der zugehörigen Topologie.