Über die Gruppe der meßbaren Abbildungen. (Q2584333)

\(\varOmega \) sei ein Raum, \(G\) eine Gruppe von eineindeutigen Abbildungen \(x: P\to P\cdot x\) von \(\varOmega \) auf sich. In \(\varOmega \) sei ein \(G\)-invariantes Maß \(\mu\) erklärt, in \(G\) ein Weilsches Maß \(m\), d. h. ein linksinvariantes Maß mit der Eigenschaft, daß mit der komplexwertigen Funktion \(f (x)\) auch \(f(y^{-1}x)\) meßbar ist und \(G\) die Summe von höchstens abzählbar vielen Mengen endlichen Maßes ist. Eine Abbildung eines Raumes \(\varOmega _1\) mit einem Maß. in einen ebensolchen \(\varOmega _2\) heißt meßbar, wenn das Urbild jeder meßbaren Teilmenge wieder meßbar ist. Es werden folgende Sätze bewiesen: Die Abbildung \(P\times x\times y\to P\times y^{-1}x\) von \(\varOmega \times G\times G\) auf \(\varOmega \times G\) ist meßbar. Die Abbildung \(x\times y\to yx\) von \(G\times G\) in \(G\) ist meßbar. \ \(G\) heißt meßbar über \(\varOmega \), wenn die Abbildung \(P \times x\to P\cdot x\) von \(\varOmega \times G\) in \(\varOmega \) meßbar ist. Ist \(G\) meßbar über \(\varOmega \), so ist für jedes \(f\) in \(\mathfrak H_\varOmega ^{(\mu )}\) dem Raum aller \(\mu \)-quadratsummierbaren Funktionen auf \(\varOmega \), die durch alle \(U_x\,f\), \(x\in G\) (\(U_x\) der durch \(U_x\,f(P) = f(P\cdot x)\) definierte unitare Operator \(\mathfrak H_\varOmega ^{(\mu )}\), aufgespannte lineare Mannigfaltigkeit separabel. Ist \(G\) meßbar über \(\varOmega \), so ist ferner die Abbildung \(x\to U_x\) stark stetig. Es werden ständig Sätze und Begriffe aus der vorstehend besprochenen Arbeit des Verf. benutzt, zu der die vorliegende Note Ergänzungen bringt.