Ordered topological spaces. (Q2584347)

Ein topologischer Raum \(X\) heißt geordnet, wenn zwischen seinen Elementen eine Beziehung definiert ist, die durch das Zeichen \(<\) ausgedrückt werde, und die folgende Bedingungen erfüllt: \ 1) Für \(x\in X\), \(y\in X\) gilt entweder \(x< y\) oder \(x= y\) oder \(x > y\). \ 2) Wenn auch \(z\in X\), so folgt aus \(x < y\), \(y < z\) stets \(x <z\). \ 3) Falls \(x < y\) ist, gibt es eine Umgebung \(U (x)\) von \(x\) und eine Umgebung \(U(y)\) von \(y\), so daß \(x <y'\) und \(x' < y\) für jedes \(x'\) aus \(U (x)\) und jedes \(y'\) aus \(U(y)\) gilt. Ein geordneter topologischer Raum \(X\) ist ein Hausdorffscher Raum; ist \(X\) zusammenhängend, so besitzt er den Ordnungstypus des linearen Kontinuums. \(P(X)\) sei die Menge der geordneten Paare \((x, y)\) verschiedener Elemente eines topologischen Raumes \(Y\). Ist nun \(Y\) zusammenhängend, so kann \(Y\) dann und nur dann geordnet werden, wenn \(P(Y)\) nicht zusammenhängend ist; und \(Y\) kann dann zwei Anordnungen unterworfen werden, von denen die eine der anderen entgegengesetzt ist. Ist statt dessen \(Y\) zusammenhängend, örtlich zusammenhängend und separierbar, so ist \(Y\) dann und nur dann dem linearen Kontinuum oder einer Teilmenge homöomorph, wenn \(P(Y)\) nicht zusammenhängend ist. Es folgen einige Betrachtungen über Topologien, die sich einer geordneten Menge aufprägen lassen, so daß diese zu einem geordneten topologischen Raum mit vorgegebener Anordnung wird.