Stabilisierung und Labilisierung von Schwingungen. (Q2584425)

Verf. befaßt sich mit ''rheolinearen'' Schwingern, das sind schwingungs\-fähige Systeme, deren Bewegung durch eine lineare Differentialgleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten beherrscht wird. Von diesen werden nur diejenigen betrachtet, deren Differentialgleichung einen periodischen Koeffizienten im ``Rückstellglied'' hat und sich auf die Mathieusche Differentialgleichung \[ \frac {d^2q(x)}{dx^2} + (\lambda +\gamma\,\cos\,x)\,q(x) =0 \] als Normalform bringen läßt. Es werden nun zunächst einige Schwinger als Beispiele diskutiert; unter ihnen das ``Neusingersche Pendel'', ein Pendel, dessen Schwingungsebene sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht (\textit{H. Neusinger}, Akust. Z. 5 (1940), 11-26; F. d. M. 66, 586 (JFM 66.0586.*)), dann ein Pendel, dessen horizontale Drehachse in beliebiger Richtung harmonisch auf einer in seiner Schwingungsebene liegenden Geraden bewegt wird (\textit{K. Klotter} und \textit{G. Kotowski}, Z. angew. Math. Mech. 19 (1939), 289-296; F. d. M. 65, 899 (JFM 65.0899.*)), schließlich ein Pendel, dessen Schwerpunkt in der Drehachse liegt und dessen Rückstellkraft von Federn erzeugt wird, und endlich der Druckstab unter pulsierender Längslast (\textit{E. Mettler}, Mitt. Forschungs-Anst. Gutehoffnungshütte-Konzern 8 (1940), 1-15; F. d. M. 66, 1045 (JFM 66.1045.*)). Daran anschließend werden die bekannten Ergebnisse der Theorie der Mathieuschen Differentialgleichung mitgeteilt, soweit sie zur Entscheidung über Beschränktsein oder unbeschränktes Anwachsen der Lösung benötigt werden. Zur Diskussion der Beispiele wird von der ``Struttschen Karte'' (\textit{M. J. O. Strutt}, Lamésche, Mathieusche und verwandte Funktionen, Ergebnisse d. Math. 1, Heft 3, Berlin 1932; JFM 58.0387.*) Gebrauch gemacht, d. i. eine Darstellung der Gebiete der \(\lambda \)-\(\gamma \)-Ebene, in denen einem Wertepaar \((\lambda,\gamma )\) eine stabile bzw. labile Lösung entspricht. Die aus der ``Karte'' gewonnenen Aussagen über den Druckstab unter pulsierender Längskraft sind dieselben, die Mettler (a. a. O.) schon gegeben hat. Für das Beispiel des Pendels, dessen horizontale Drehachse in lotrechter Richtung harmonisch bewegt wird, ergibt sich, daß von den beiden Gleichgewichtslagen die untere (bei ruhender Drehachse stabile) noch mehr stabilisiert werden kann, während die obere (labile) von einer gewissen ``Erschütterungsintensität'' ab ebenfalls stabil werden kann; doch kann auch der Fall eintreten, daß die untere (stabile) Gleichgewichtslage labilisiert werden kann. -- Abschließend wird noch auf die sogenannten ``Auswanderungserscheinungen'' eingegangen; diese treten z. B. auf, wenn die lotrechte Drehachse eines, in horizontaler Ebene drehbaren Körpers (der in allen Richtungen indifferente Gleichgewichts\-lagen besitzt) in geradlinige harmonische Erschütterungen versetzt wird. Durch die Erschütterungen wird ein ''künstliches'' Rückstellmoment erzeugt, das zwei in der Erschütterungsrichtung (Richtung und Gegenrichtung) liegende stabile und senkrecht dazu zwei labile Gleichgewichtslagen erzeugt. Bei einem Pendel mit horizontaler Drehachse entstehen durch geradlinige harmonische Erschütterung in beliebiger (nicht lotrechter) Richtung aus der einen stabilen Gleichgewichtslage neue Mittellagen infolge des Zusammenwirkens des ''natürlichen'' (vom Erdfeld herrührenden) und des ''künstlichen'' Rückstellmomentes: das Pendel ``wandert'' aus. Diese Erscheinungen verdienen besondere Beachtung im Hinblick auf das Verhalten von Meßgeräten mit drehbarem Meßsystem.