Der Dreierstoß. (Q2584462)

Verf. untersucht den Fall des Dreikörperproblems, daß die drei Körper gleichzeitig zusammenstoßen. Seine Behandlung unterscheidet sich von den bei Zusammenstößen üblichen Methoden vor allem dadurch, daß die Zeit als unabhängige Variable beibehalten und keinerlei ``Regularisierung'' durchgeführt wird. Vielmehr regularisieren sich die Bewegungsgleichungen auf die einfachste Weise ganz von selbst. Zunächst werden mit Hilfe der bekannten Integrale einige von \textit{Sundman} gefundene Sätze (Acta Soc. Sci. Fennicae 34 (1907)) auf etwas modifizierte Art wiedergewonnen, so der Satz, daß ein Dreierstoß nur stattfinden kann, wenn die drei Flächenkonstanten verschwinden, daß die Bewegung der drei Punkte, abgesehen von einer gleichförmigen Bewegung des Schwerpunktes, in einer festen Ebene vor sich geht, und daß die Winkeldes Dreiecks der drei Massenpunkte beim Zusammenstoß den Grenzwerten \(\dfrac \pi 3\), \(\dfrac \pi 3\), \(\dfrac \pi 3\) (gleichseitiges Dreieck) oder 0, 0, \(\pi\) (gerade Linie) zustreben. Außerdem wird gezeigt, daß die Bahnkurven beim Zusammenstoß bestimmte Tangenten haben. Nach diesen Vorbereitungen bringt Verf. die Bewegungsgleichungen auf die kanonische Form \[ \frac{dp_k}{dt}=\frac{\partial E}{\partial q_k}, \;\frac{dq_k}{dt}=-\frac{\partial E}{\partial p_k} \quad (k=1,2,3,4) \] und zeigt, daß beim Zusammenstoß für \(t=0\) die Funktionen \[ p_4, \;q_4i^{-\frac 13}, \;p_ki^{-\frac 23}, \;q_kt^{\frac 13} \quad (k = 1, 2, 3) \] endlichen Grenzwerten \(\bar p_4\), \(\bar q_4\), \(\bar p_k\), \(\bar q_k\) zustreben. Das führt naturgemäß dazu, statt der \(p_k\), \(q_k\) die Größen \[ p_4-\bar p_4, \;q_4i^{-\frac 13}-\bar q_4, \;p_ki^{-\frac 23}-\bar p_k, \;q_kt^{\frac 13}-\bar q_k \] als neue Unbekannte einzuführen. Bezeichnet man diese mit \(\delta_1\), \dots, \(\delta_s\) und setzt noch \(t = e^{-s}\), so nehmen die Gleichungen die Form an \[ \frac{d\delta_k}{ds} = \sum_{l=1}^8 a_{kl}\delta_l + \varphi_k \quad (k= 1, \ldots, 8), \] wo die \(\varphi_k\) Potenzreihen der \(\delta_i\) ohne konstante und lineare Glieder sind. Damit ist eine klassische Form der Differentialgleichungen erreicht, deren Integration durch Poincarésche Reihen das asymptotische Verhalten für \(s\to \infty\), d. h. für \(t\to 0\), also beim Zusammenstoß erkennen läßt. Es kommt nach bekannten Sätzen einfach darauf an, wieviele charakteristische Wurzeln einen negativen Realteil haben. Es zeigt sich, daß das allgemeine Integral im Fall des gleichseitigen Dreiecks von drei, im Fall der geraden Linie von zwei willkürlichen Konstanten abhängt. Die \(\delta_k\) ergeben sich als Reihen, die im allgemeinen beim gleichseitigen Dreieck nach Potenzen von \[ \alpha_1t^{\frac 23}, \;\alpha_2t^{\alpha_1}, \;\alpha_3t^{\alpha_2}, \] bei der geraden Linie nach Potenzen von \[ \beta_1t^{\frac 23}, \;\beta_2t^{b_1} \] fortschreiten. Dabei sind \(a_1\), \(a_2\), \(b_1\) durch die Massen bestimmt, während \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\), \(\beta_1\), \(\beta_2\) die willkürlichen Konstanten sind. Nur wenn die Massenverhältnisse so sind, daß eine der Zahlen \(\dfrac 2{3a^2}\), \(\dfrac {a_1}{a_2}\), \(\dfrac{3b_1}2\) ganz wird, sind diese (jetzt nicht existierenden) Reihen durch andere zu ersetzen, in denen auch logarithmische Glieder auftreten.